Ретракция Шарафутдинова

Ретракция Шарафутдинова — конструкция, позволяющая построить ретракцию риманова многообразия по выпуклой функции на нём.

Впервые использована в 1979 году Шарафутдиновым в доказательстве того, что любые две души в многообразии с неотрицательной секционной кривизной изометричны.

Конструкция

Пусть $M$ — связное риманово многообразие, $f:M\to ℝ$ — выпуклая функция и $s=\max \{f(x)\mid x\in M\}$. Для $t\le s$ обозначим через $M_t$ множество $\{x\in M\mid f(x)\le t\}$. Ретракция Шарафутдинова — это семейство отображений ${\mathrm{\Phi }}_t:M\to M_t$, которое является тождественным на $M_t$ такое, что если $f(x)<t$ то ${\mathrm{\Phi }}_t(x)$ лежит на градиентной кривой из $x$ функции $f$ и при этом $f({\mathrm{\Phi }}_t(x))=t$.

Свойства

• Отображения ${\mathrm{\Phi }}_t:M\to M_t$ являются короткими.
• Если $t\ge \tau$ то ${\mathrm{\Phi }}_t\circ {\mathrm{\Phi }}_{\tau }={\mathrm{\Phi }}_t$.