Решение Казнера

Метрика Казнера (разработанная американским математиком Эдвардом Казнером в 1921 году и названная в его честь) — точное решение уравнений Эйнштейна. Описывает анизотропную Вселенную без материи (т. е. представляет собой вакуумное решение) и определена при размерности пространства-времени $D>3$. Имеет приложения в изучении гравитационного хаоса.

Метрика и условия Казнера

Метрика при размерности пространства-времени $D>3$ имеет вид

$\text{d}{s}^2=-\text{d}{t}^2+\sum _{j=1}^{D-1}{t}^{2p_j}[\text{d}{x}^j{]}^2$,

где $p_j$ — набор из $D-1$ констант (коэффициенты Казнера). Она описывает пространство-время такое, что гиперповерхности постоянного времени плоские, однако расширяются или сокращаются с разной скоростью в разных направлениях в зависимости от значений $p_j$. Пробные частицы в этой метрике, чьи сопутствующие координаты отличаются на $\mathrm{\Delta }{x}^j$, разделены физическим расстоянием $t^{p_j}\mathrm{\Delta }{x}^j$.

Метрика Казнера является точным решением уравнений Эйнштейна в вакууме только если коэффициенты Казнера удовлетворяют следующим условиям:

$\sum _{j=1}^{D-1}{p}_j=1,$

$\sum _{j=1}^{D-1}{p}_j^2=1.$

Первое условие задаёт плоскость, а второе — сферу, соответственно, искомый набор коэффициентов $p_j$ лежит на сфере, по которой они пересекаются. Таким образом, пространство решений лежит на сфере $S^{D-3}$.