Самосогласованная функция

В математической оптимизации самосогласованной функцией называют трижды дифференцируемую выпуклую функцию $f:ℝ\to ℝ$, вторая и третья производные которой связаны неравенством:

$|f^{‴}(x)|⩽2{(f^{″}(x))}^{3/2}\mathrm{\forall }x\in \text{dom }f.$

Многомерную функцию $f:{ℝ}^n\to ℝ$ называют самосогласованной, если одномерная функция $\varphi (t)=f(x+ht)$ является самосогласованной для любых $x,h\in {ℝ}^n$.

Свойства

• Сумма самосогласованных функций является самосогласованной.
• Если $f(x)$ — самосогласованная функция, то самосогласованной является и функция $\alpha f(x)$ для любого действительного числа $\alpha ⩾1$.
• Композиция самосогласованной функции с аффинной является самосогласованной функцией.

Приложения

Существуют точные оценки глобальной сходимости метода Ньютона для самосогласованных функций.

Литература

• Boyd, Vandenberghe. Convex Optimization. § 9.6.
• Б. Т. Поляк. Метод Ньютона и его роль в оптимизации и вычислительной математике. Труды Института системного анализа Российской академии наук, 2006.