Сапог Шварца

Сапог Шварца ($k=6,n=10$) в Немецком техническом музее

Сапог Шварца (от Шаблон:Lang-de) — семейство приближений кругового цилиндра с помощью полиэдральных поверхностей.

Предельная площадь этих приближений может быть сделана произвольно большой. Эта конструкция позволяет увидеть несостоятельность определения площади поверхности как точной верхней грани площадей вписанных в неё полиэдральных поверхностей, в противоположность тому, что длина кривой может быть определена как точная верхняя грань длин вписанных в неё ломаных.

История

Конструкция была предложена в 1890 году Германом Шварцем как контрпример к ошибочному определению площади поверхности в книге Жозефа Серре. Независимо от Шварца, тот же пример был найден Джузеппе Пеано. Его учитель Шаблон:Iw также обсуждал этот вопрос со Шварцем. Дженокки проинформировал Шарля Эрмита, который использовал ошибочное определение Серре в своем курсе. После этого Эрмит пересмотрел свой курс и опубликовал заметку Шварца во втором издании своих лекций.

Конструкция

Высота цилиндра делится плоскостями, параллельными основаниям, на $n$ равных частей. В образовавшиеся сечения (окружности) вписываются правильные $k$-угольники, причём соседние $k$-угольники повёрнуты относительно друг друга на угол $\pi /k$ чтобы вершины вышележащего $k$-угольника находились над серединами сторон нижележащего $k$-угольника. Затем вершины $k$-угольников соединяются так, что образуется поверхность из $2nk$ треугольников; каждый её «слой» — антипризма. Полученная многогранная поверхность называется сапогом Шварца.

Если $n,k\to \mathrm{\infty }$, то размеры этих треугольников становятся сколь угодно малыми, то есть сапог Шварца стремится к цилиндру.

Свойства

Сапог Шварца

• Простой подсчёт показывает, что
  • при $k,n/k^2\to \mathrm{\infty }$ площадь, то есть сумма площадей всех треугольных граней сапога Шварца, стремится к бесконечности.
  • при $n,k^2/n\to \mathrm{\infty }$ площадь сапога Шварца, стремится к площади кругового цилиндра.
• Относительно его внутренней метрики, сапог Шварца изометричен некоторому круговому цилиндру.

Литература

• Дубровский В. Н. В поисках определения площади поверхности // Квант. — 1978. — № 5. — С. 31—34.
• Шаблон:Книга (§ 623).