Седловая поверхность

Седло для верховой езды

Седловая поверхность (устаревшее название — антикластическая) — гладкая поверхность, все точки которой седловые, то есть имеют отрицательную гауссову кривизну.

Термин происходит от специфической формы поверхности, напоминающей седло для верховой езды, которое имеет изгибы вверх и вниз.

Определение

Поверхность $\mathrm{\Pi }$ называется (строго) седловой, если для любой точки $p\in \mathrm{\Pi }$ произведение главных кривизн $k_1(p)\cdot k_2(p)$ неположительно (отрицательно).

Примеры

Гиперболический параболоид

Обезьянье седло

• Минимальная поверхность
• Однополостный гиперболоид
• Гиперболический параболоид
• Обезьянье седло

Свойства

• Седловые поверхности имеют отрицательную гауссову кривизну.
• От седловой поверхности нельзя отрезать горбушку плоскостью. Более точно: пересечение плоскости с седловой поверхностью не имеет компактных компонент.
  • Это свойство используется при определении седловых поверхностей в негладком случае.

Вариации и обобщения

• Понятие седловой поверхности обобщается на негладкий случай, как поверхность с которой нельзя срезать шапочку. Более точно поверхность $s(u,v)$ в ${ℝ}^3$ называется (обобщенно) седловой поверхностью если для любой линейной функции $\ell :{ℝ}^3\to ℝ$ композиция $\ell \circ s$ не имеет строгих локальных минимумов и максимумов.

Поверхность в природе

• В верхней части хватательных конечностей раков-богомолов находится седлообразное образование, способствующее скоростному захвату добычи посредством сжатия и растяжения подобно пружине.

См. также

• Поверхность второго порядка
• Коническая поверхность
• Гиперболоид
• Параболоид
• Эллипсоид

Литература

• Шаблон:Книга
• Фоменко В. Т. Поверхности отрицательной кривизны. — Соросовский образовательный журнал, N 12, 1999.