Семнадцатая проблема Гильберта

Семнадцатая проблема Гильберта — одна из 23 проблем Гильберта, которые Давид Гильберт высказал в 1900 году на II Международном конгрессе математиков в Париже и которые оказали исключительное влияние на развитие математики в XX веке. Формулировка задачи по Гильберту такова:

Шаблон:Рамка Пусть дана рациональная функция от $n$ переменных с вещественными коэффициентами, которая во всех вещественных точках, где она определена, принимает неотрицательные значения. Можно ли представить её в виде суммы квадратов рациональных функций, все коэффициенты которых вещественны? Шаблон:Конец рамки

Эмиль Артин дал положительное решение этого вопроса в 1927 году, но его решение было неконструктивным. Алгоритмическое решение было найдено Чарльзом Дельзеллом в 1984 году.

Вариации и обобщения

• Существуют многочлены, которые неотрицательны при всех вещественных значениях аргументов, но не могут быть представлены в виде суммы квадратов других многочленов. Существование таких примеров было доказано Гильбертом. Более явные примеры таких многочленов были даны Шаблон:Нп1 в 1967 году.
  • Например, многочлены

    $f(x,y)=x^2{y}^2(x^2+y^2-3)+1,$

    $g(x,y,z)=z^6+x^4{y}^2+x^2{y}^4-3x^2{y}^2{z}^2$

  не могут быть представлены в виде суммы квадратов многочленов с вещественными коэффициентами. Но их можно представить в виде суммы квадратов рациональных функций, например,

  $f(x,y)={\left(\frac{x^{2}y(x^2+y^2-2)}{x^2+y^2}\right)}^2+{\left(\frac{x{y}^2(x^2+y^2-2)}{x^2+y^2}\right)}^2+{\left(\frac{xy(x^2+y^2-2)}{x^2+y^2}\right)}^2+{\left(\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\right)}^2.$

• Известны явные необходимые и достаточные условия того, что многочлен является суммой квадратов других многочленов.
• С 1950-х годов известно, что возможность представить многочлен в виде суммы квадратов многочленов связана с решением многомерной степенной проблемы моментов.
• Известно, что каждый неотрицательный многочлен может быть сколь угодно точно приближен (по $l_1$-норме вектора его коэффициентов) многочленами, которые являются суммой квадратов многочленов.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья