Серединный перпендикуляр

Построение середины отрезка AB является одновременно построением серединного перпендикулярa

Серединный перпендикуляр (также срединный перпендикуляр и устаревший термин медиатрисаШаблон:Нет АИ) — прямая, перпендикулярная данному отрезку и проходящая через его середину.

Свойства

• Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника (или другого многоугольника, для которого существует описанная окружность) пересекаются в одной точке — центре описанной окружности. У остроугольного треугольника эта точка лежит внутри, у тупоугольного — вне треугольника, у прямоугольного — на середине гипотенузы.
• Любая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.
  • Верно и обратное утверждение: каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.
• В равнобедренном треугольнике высота, биссектриса и медиана, проведенные из вершины угла с равными сторонами, совпадают и являются серединным перпендикуляром, проведённым к основанию треугольника, а два других серединных перпендикуляра равны между собой.
• Отрезки серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, заключённые внутри него, можно найти по следующим формулам:

$p_a=\frac{2aS}{a^2+b^2-c^2},p_b=\frac{2bS}{a^2+b^2-c^2},p_c=\frac{2cS}{a^2-b^2+c^2},$

где нижний индекс обозначает сторону, к которой проведён перпендикуляр, $S$ — площадь треугольника, а также предполагается, что стороны связаны неравенствами $a⩾b⩾c.$

• Если стороны треугольника удовлетворяют неравенствам $a\ge b\ge c$, тогда справедливы неравенства:

$p_a\ge p_b$ и $p_c\ge p_b.$ Иными словами, наименьшим является серединный перпендикуляр, проведенный к стороне с промежуточной длиной.

Вариации и обобщения

• Окружность Аполлония — геометрическое место точек плоскости, отношение расстояний от которых до двух заданных точек — величина постоянная.

Литература

• Геометрия по Киселёву.