Симметризация Штайнера

Симметризация Штайнера

Симметризация Штайнера — построение определённого типа, сопоставляющее произвольной фигуре фигуру с зеркальной симметрией. Это построение применяется при решении изопериметрической задачи, предложенном Якобом Штайнером в 1838.

На основе симметризации Штайнера были построены и другие симметризации, которые используются в схожих задачах.

Определение

Пусть $H\subset {ℝ}^n$ есть гиперплоскость и $\mathrm{\Phi }$ — данная фигура в ${ℝ}^n$.

Введём ортогональную систему координат, в которой $H$ описывается уравнением $x_n=0$. Для каждой точки $x\in H$ пусть ${\ell }_x$ обозначает длину пересечения перпендикуляра, проведённого к $H$ через $x$, с множеством $\mathrm{\Phi }$. Далее проведём через $x$ отрезок длины ${\ell }_x$ с серединой в $x$, перпендикулярный к $H$. Объединение ${\mathrm{\Phi }}^{*}$ таких отрезков есть симметризация Штайнера $\mathrm{\Phi }$ относительно $H$.

Свойства

Случай равенства периметров в симметризации Штайнера

• Объём ${\mathrm{\Phi }}^{*}$ совпадает с объёмом $\mathrm{\Phi }$.

• Площадь поверхности ${\mathrm{\Phi }}^{*}$ не превосходит площади поверхности $\mathrm{\Phi }$.
  • Если $\mathrm{\Phi }$ выпуклое тело, то равенство площадей поверхностей ${\mathrm{\Phi }}^{*}$ и $\mathrm{\Phi }$ достигается только в случае, если $\mathrm{\Phi }$ зеркально симметрична относительно гиперплоскости, параллельной плоскости симметризации.
  • В общем случае равенство может достигаться не только для зеркально симметричных $\mathrm{\Phi }$, например, равенство достигается для плоских фигур, составленных из двух прямоугольников с основаниями, параллельными прямой симметризации.

• Если $\mathrm{\Phi }$ выпукла, то же верно и для ${\mathrm{\Phi }}^{*}$.

• Симметризация Штайнера не увеличивает расстояние по Хаусдорфу между фигурами, то есть

  $d_H(\mathrm{\Phi },\mathrm{\Psi })\ge d_H({\mathrm{\Phi }}^{*},{\mathrm{\Psi }}^{*}),$

где $\mathrm{\Phi }$ и $\mathrm{\Psi }$ — произвольные фигуры, ${\mathrm{\Phi }}^{*}$ и ${\mathrm{\Psi }}^{*}$ — их симметризации относительно одной и той же гиперплоскости, а $d_H$ — метрика Хаусдорфа.

• Если $\mathrm{\Phi }\subset \mathrm{\Psi }$, то ${\mathrm{\Phi }}^{*}\subset {\mathrm{\Psi }}^{*}$.

Вариации и обобщения

Круговая симметризация

• Симметризация Пойа (круговая).
• Осевая симметризация — аналогична симметризации Штайнера, но даёт фигуру, инвариантную относительно поворотов вокруг данной прямой.

Литература

• Шаблон:Книга