Симметризация и антисимметризация тензора

Симметризация и антисимметризация тензора — это операции конструирования тензора того же типа с определённым видом симметрии. Для примера, симметризация тензора $T_{i j}$ — это симметричный тензор $T_{(i j)} = \frac{1}{2} (T_{i j} + T_{j i})$ , а антисимметризация — антисимметричный тензор $T_{[i j]} = \frac{1}{2} (T_{i j} - T_{j i})$ .

Операция симметризации:

A_{(m_{1} \dots m_{k}) m_{k + 1} m_{q}}^{n_{1} \dots n_{p}} = \frac{1}{k!} \sum_{σ (m_{1} \dots m_{k})} A_{σ (m_{1}) \dots σ (m_{k}) m_{k + 1} m_{q}}^{n_{1} \dots n_{p}}

.

Суммирование ведётся по всем перестановкам $σ (m_{1} \dots m_{k})$ индексов, заключённых в круглые скобки. Аналогично определяется симметризация верхних индексов; симметризовать можно только по группе индексов одного типа. Операцию можно применять и к тензорному произведению нескольких тензоров (которое также является тензором). Примеры:

A_{(k l m)} = \frac{1}{3!} (A_{k l m} + A_{l m k} + A_{m k l} + A_{k m l} + A_{l k m} + A_{m l k})

.

Операция антисимметризации или альтернирования определяется так:

A_{[m_{1} \dots m_{k}] m_{k + 1} m_{q}}^{n_{1} \dots n_{p}} = \frac{1}{k!} \sum_{σ (m_{1} \dots m_{k})} sgn σ \cdot A_{σ (m_{1}) \dots σ (m_{k}) m_{k + 1} m_{q}}^{n_{1} \dots n_{p}}

.

Суммирование снова ведётся по всем перестановкам $σ (m_{1} \dots m_{k})$ индексов, но теперь заключённых в квадратные скобки и с учётом чётности перестановки $sgn σ$ . Примеры:

A_{[k l m]} = \frac{1}{3!} (A_{k l m} + A_{l m k} + A_{m k l} - A_{k m l} - A_{l k m} - A_{m l k})

;

A_{k}^{q [l} B_{p r}^{m]} = \frac{1}{2!} (A_{k}^{q l} B_{p r}^{m} - A_{k}^{q m} B_{p r}^{l})

.

Некоторые авторы предпочитают не писать множитель $\frac{1}{k!}$ в формулах для симметризации и антисимметризации. На это следует обращать внимание, поскольку другие формулы видоизменяются соответственно, что может внести путаницу.

Свойства симметризации и антисимметризации

Если $T_{i_{1} \dots i_{n}}$ симметричен по $i_{1} \dots i_{n},$ то симметризация по этим индексам совпадает с $T,$ а антисимметризация даёт нулевой тензор. Аналогично в случае антисимметричности $T$ по некоторым индексам: антисимметризация совпадёт с $T$ , а симметризация даст нулевой тензор.
Если $T_{i j} \in V \otimes V,$ то $T_{(i j)} \in V \lor V,$ $T_{[i j]} \in V \land V .$ Здесь $\lor$ — симметричное, а $\land$ — внешнее произведение векторных пространств.

Шаблон:Rq

Симметризация и антисимметризация тензора

Свойства симметризации и антисимметризации

Навигация

Поиск