Собственные элементы орбиты

Собственные (свободные) элементы орбиты — параметры, характеризующие орбиту небесного тела при его движении под воздействием возмущений. Собственные элементы практически не меняются со временем, в отличие от оскулирующих элементов, которые непостоянны и в каждый момент времени определяются как обычные элементы орбиты в предположении, что возмущения отсутствуют. Таким образом, собственные элементы являются непосредственными характеристиками орбиты тела, не изменёнными внешними факторами.

Описание

Распределение разности между оскулирующим и собственным эксцентриситетом (вверху) и наклоном орбиты (внизу) для астероидов с большой полуосью орбиты 2—4 а.е.

Оскулирующие элементы

В задаче двух тел орбита небесного тела имеет вид конического сечения, а форма орбиты, её положение в пространстве и положение тела на ней однозначно описывается шестью параметрами, которые называются элементами орбиты. Один из возможных наборов элементов, который будет использоваться далее — большая полуось $a$, эксцентриситет $e$, наклонение $I$, долгота восходящего узла $\mathrm{\Omega }$, долгота перицентра $\varpi$ и средняя долгота $\lambda$Шаблон:Ref+Шаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Однако при наличии более чем двух тел в системе взаимодействие между ними приводит к тому, что орбиты тел уже не описываются таким способом. На практике, например, в Солнечной системе орбиты планет не слишком отличаются от конических сечений, и их можно описать обычными элементами орбиты, однако в этом случае они меняются со временем. Для каждого момента времени элементы орбиты, которые бы точно описывали движение тела, если бы в этот момент все возмущения исчезли, называются оскулирующими элементами орбитыШаблон:Sfn.

Возмущающая функция

Возмущающая функция представляет собой потенциал гравитационного взаимодействия с другими телами системы, кроме центральногоШаблон:Ref+Шаблон:Sfn. От неё зависит изменение оскулирующих элементов со временем: эта связь выражается посредством планетных уравнений ЛагранжаШаблон:Sfn.

Для оценки того, как изменяются элементы орбиты со временем, можно представить систему с массивным центральным телом и двумя телами значительно меньшей массы. Тогда можно рассмотреть, как будет двигаться тело пренебрежимо малой массы — пробная частица — в поле тяготения центрального тела, с учётом возмущений от двух других тел. Возмущающую функцию для пробной частицы можно приближённо выразить через элементы орбитШаблон:Ref+Шаблон:Sfn:

$R=n{a}^2[\frac{1}{2}A{e}^2+\frac{1}{2}B{I}^2+\sum _{j=1}^2{A}_{j}e{e}_j\cos (\varpi -{\varpi }_j)+\sum _{j=1}^2{B}_{j}I{I}_j\cos (\mathrm{\Omega }-{\mathrm{\Omega }}_j)],$

где $n$ — среднее движение (средняя угловая скорость движения по орбите)Шаблон:Sfn, элементы орбиты без индексов относятся к пробной частице, с индексами — к возмущающим телам. Значения $A,A_j,B,B_j$ приведены нижеШаблон:Sfn:

$A=n\frac{1}{4}\sum _{j=1}^2\frac{m_j}{m_c}{\alpha }_j{\overline{\alpha }}_j{b}_{3/2}^{(1)}({\alpha }_j),$

$A_j=-n\frac{1}{4}\frac{m_j}{m_c}{\alpha }_j{\overline{\alpha }}_j{b}_{3/2}^{(2)}({\alpha }_j),$

$B=-n\frac{1}{4}\sum _{j=1}^2\frac{m_j}{m_c}{\alpha }_j{\overline{\alpha }}_j{b}_{3/2}^{(1)}({\alpha }_j),$

$B_j=n\frac{1}{4}\frac{m_j}{m_c}{\alpha }_j{\overline{\alpha }}_j{b}_{3/2}^{(1)}({\alpha }_j).$

В данных формулах $m_j,m_c$ — массы, соответственно, возмущающего тела с индексом $j$ и центрального тела. $b_s^{(j)}(\alpha )$ — коэффициенты Лапласа, определяемые следующим образомШаблон:Sfn:

$\frac{1}{2}{b}_s^{(j)}(\alpha )=\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\frac{\cos j\psi d\psi }{(1-2\alpha \cos \psi +{\alpha }^2{)}^s}.$

Символы ${\alpha }_j,{\overline{\alpha }}_j$ означаютШаблон:Sfn:

${\alpha }_j=\{\begin{array}{c}{a}_j<a:a_j/a\\ a_j>a:a/a_j\end{array},$

${\overline{\alpha }}_j=\{\begin{array}{c}{a}_j<a:1\\ a_j>a:a/a_j\end{array}.$

Далее производится переход от элементов орбиты к следующим коэффициентам, поскольку в них планетные уравнения Лагранжа записываются более удобным образомШаблон:Sfn:

$h=e\sin \varpi ,$

$k=e\cos \varpi ,$

$p=I\sin \mathrm{\Omega },$

$q=I\cos \mathrm{\Omega }.$

Аналогичным образом определяются коэффициенты $h_j,k_j,p_j,q_j$ для возмущающих тел. Тогда выражение для $R$ записываются в следующем видеШаблон:Sfn:

$R=n{a}^2[\frac{1}{2}A(h^2+k^2)+\frac{1}{2}B(p^2+q^2)+\sum _{j=1}^2{A}_j(h{h}_j+k{k}_j)+\sum _{j=1}^2{B}_j(p{p}_j+q{q}_j)].$

Планетные уравнения Лагранжа в коэффициентах $h,k,p,q$ записываются какШаблон:Sfn:

$\dot{h}=\frac{1}{n{a}^2}\frac{\partial R}{\partial k}=Ak+\sum _{j=1}^2{A}_j{k}_j,$

$\dot{k}=-\frac{1}{n{a}^2}\frac{\partial R}{\partial h}=-Ah-\sum _{j=1}^2{A}_j{h}_j,$

$\dot{p}=\frac{1}{n{a}^2}\frac{\partial R}{\partial q}=Bq+\sum _{j=1}^2{B}_j{q}_j,$

$\dot{q}=-\frac{1}{n{a}^2}\frac{\partial R}{\partial p}=-Bp-\sum _{j=1}^2{B}_j{p}_j,$

где точка над символом означает производную по времени. Величины $h_j,k_j,p_j,q_j$определяются при анализе движения возмущающих тел под воздействием центрального тела и другого возмущающего тела, и с учётом этого система дифференциальных уравнений имеет решениеШаблон:Sfn:

$h=e_{\text{free}}\sin (At+\beta )+h_0(t),$

$k=e_{\text{free}}\cos (At+\beta )+k_0(t),$

$p=I_{\text{free}}\sin (Bt+\gamma )+p_0(t),$

$q=I_{\text{free}}\cos (At+\gamma )+q_0(t).$

Здесь $t$ — время, а $e_{\text{free}},I_{\text{free}},\beta ,\gamma$ — константы, которые зависят из начальных условий. $h_0,k_0,p_0,q_0$ — величины, зависящие от параметров орбиты возмущающих тел, а также от большой полуоси орбиты пробной частицы, но не от других элементов орбиты. Последние четыре параметра меняются со временем. Такие же по форме решения получаются и при рассмотрении большего количества возмущающих телШаблон:Sfn.

Собственные элементы

Полученные решения имеют наглядную геометрическую интерпретацию. Для этого вводятся следующие величиныШаблон:Sfn:

$e_{\text{forced}}=\sqrt{h_0^2+k_0^2}$

$I_{\text{forced}}=\sqrt{p_0^2+q_0^2}$

Сначала можно рассмотреть отдельно решение $\{h,k\}$. Из определения данных величин следует, что точка на плоскости $(k,h)$ имеет радиус-вектор, по модулю равный $e$ и образует угол $\varpi$ с осью $k$. С учётом вида этого решения можно представить его как сумму двух векторов: первый соединяет начало координат с точкой $(h_0,k_0)$, имеет модуль $e_{\text{forced}}$ и образует угол, который можно назвать ${\varpi }_{\text{forced}}$, с осью $k$. Второй вектор соединяет точки $(h_0,k_0)$ с $(h,k)$, имеет модуль $e_{\text{free}}$ и составляет угол ${\varpi }_{\text{free}}=At+\beta$ с осью $k$Шаблон:Sfn.

Таким образом, изменение оскулирующих элементов орбиты частицы можно представить как движение в плоскости $(k,h)$. В этих координатах частица равномерно движется по окружности с радиусом $e_{\text{free}}$ вокруг точки $(h_0,k_0)$, которая, в свою очередь, перемещается сложным образом. Аналогичные рассуждения и выводы можно получить для решения $\{p,q\}$. Значения $e_{\text{free}},I_{\text{free}},{\varpi }_{\text{free}},{\mathrm{\Omega }}_{\text{free}}$ называются собственными (или свободными) элементами орбиты, которые практически не изменяются со временемШаблон:Ref+ и их можно считать фундаментальными свойствами орбиты частицы. Значения $e_{\text{forced}},I_{\text{forced}},{\varpi }_{\text{forced}},{\mathrm{\Omega }}_{\text{forced}}$ называют вынужденными элементами — они меняются со временем и зависят от возмущенийШаблон:Sfn.

Проведённый выше анализ не показывает различий между оскулирующей и собственной большую полуосью орбиты, поскольку в нём не принимались во внимание короткопериодические возмущения, однако только такие возмущения влияют на большую полуось. Поскольку на длительных промежутках времени вклад короткопериодических возмущений «усредняется» и сводится к нулю, большая полуось не демонстрирует долговременных измененийШаблон:Sfn.

Собственные элементы являются квази-интегралами движения и остаются неизменными в течение очень длительного времени. Они отражают некоторым образом «усреднённые» по времени характеристики движения небесного тела, в которых исключено влияние коротко- и долгопериодических возмущений.

Существуют различные способы вычисления собственных элементов на основе наблюдаемых величин. В общих чертах для этого сначала составляется модель сил, действующих на исследуемое тело, производится усреднение элементов орбиты по времени, чтобы избавиться от влияния короткопериодических возмущений, а затем производится вычисление остальных возмущений и вычитание вынужденных элементов из оскулирующих.

Собственные элементы широко используются для изучения, например, динамики пояса астероидов, а также для разделения астероидов на семейства (см. нижеШаблон:Переход). В следующей таблице представлены собственные и оскулирующие элементы Цереры на эпоху MJD 59800,0 (9 августа 2022 года):

Элементы орбиты Цереры

	$a$, а.е.	$e$	$i$, °
Собственные	2,7612	0,115	9,660
Оскулирующие	2,7666	0,0786	10,587

Семейства Хираямы

Диаграммы, показывающие соотношение между оскулирующими (слева) и собственными (справа) эксцентриситетом и наклоном орбиты астероидов. Для собственных элементов хорошо видны скучивания — семейства Хираямы

Шаблон:Основная статьяВ 1918 году Киёцугу Хираяма построил диаграммы ($a$, $e$) и ($a$, $i$) для известных астероидов и обнаружил, что в некоторых областях на диаграмме наблюдается скучивание. Первоначально Хираяма строил диаграммы для оскулирующих элементов, но впоследствии использовал собственные элементы, на которых скучивание было заметно более явноШаблон:Sfn.

Таким способом было выделено множество семейств, например, семейства Фемиды, Эос, Корониды, Марии. Считается, что семейства астероидов возникают при полном или частичном разрушении «родительского» астероида в результате столкновения: фрагменты приобретают небольшую относительную скорость по сравнению со скоростью движения по орбите, и остаются близко друг к другу в фазовом пространстве собственных элементов орбиты на протяжении длительного времени.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга