Совершенная дизъюнктивная нормальная форма

Соверше́нная дизъюнкти́вная норма́льная фо́рма (СДНФ) — одна из форм представления функции алгебры логики (булевой функции) в виде логического выражения. Представляет собой частный случай ДНФ, удовлетворяющий следующим трём условиям:

• в ней нет одинаковых слагаемых (элементарных конъюнкций);
• в каждом слагаемом нет повторяющихся переменных;
• каждое слагаемое содержит все переменные, от которых зависит булева функция (каждая переменная может входить в слагаемое либо в прямой, либо в инверсной форме).

Любая булева формула, не являющаяся тождественно ложной, может быть приведена к СДНФ, причём единственным образом, то есть для любой выполнимой функции алгебры логики существует своя СДНФ, причём единственная.

Краткая теория

ДНФ представляет собой «сумму произведений», причём в качестве операции «умножения» выступает операция И (конъюнкция), а в качестве операции «сложения» — операция ИЛИ (дизъюнкция). Сомножителями являются различные переменные, причём они могут входить в произведение как в прямом, так и в инверсном виде.

Ниже приведён пример ДНФ:

$F(A,B,C,D,E)=\overline{A}B+A\overline{B}E+B\overline{C}D.$

В составе ДНФ, вообще говоря, могут присутствовать повторяющиеся слагаемые, а в составе каждого слагаемого — повторяющиеся сомножители, например:

$F(A,B,C,D,E)=\overline{A}B\overline{B}+A\overline{B}EA+B\overline{C}D+B\overline{C}D.$

С математической точки зрения такое клонирование бессмысленно, так как в булевой алгебре умножение любого выражения на само себя и сложение выражения с самим собой не меняет результата ($x+x=x;x\cdot x=x$), а сложение выражения с собственной инверсией и умножение на собственную инверсию даёт константы ($x+\overline{x}=1;x\cdot \overline{x}=0$). В последнем выражении можно удалить повторяющиеся слагаемые и сомножители следующим образом:

$F(A,B,C,D,E)=\overline{A}B\overline{B}+A\overline{B}EA+B\overline{C}D+B\overline{C}D=\overline{A}\cdot (B\overline{B})+(AA)\cdot \overline{B}E+B\overline{C}D=\overline{A}\cdot 0+A\overline{B}E+B\overline{C}D=A\overline{B}E+B\overline{C}D.$

По этой причине ДНФ с повторяющимися слагаемыми и сомножителями используются обычно только со вспомогательными целями, например, при аналитическом преобразовании выражений.

СДНФ является канонической формой представления булевой функции в виде ДНФ, в которой повторы слагаемых и сомножителей запрещены. Кроме того, в каждом слагаемом должны присутствовать все переменные (в прямой или инверсной форме).

Ниже приведён пример СДНФ:

$F(A,B,C,D,E)=\overline{A}BCDE+A\overline{B}C\overline{D}E+AB\overline{C}D\overline{E}.$

Значение СДНФ состоит в том, что

• для каждой конкретной функции её СДНФ единственна и однозначна;
• СДНФ имеет однозначное соответствие с таблицей истинности функции. Каждое слагаемое СДНФ соответствует одной строке в таблице истинности, где функция равна единице. Таким образом, число слагаемых в СДНФ равно числу единичных значений, которые принимает булева функция в своей области определения;
• СДНФ элементарно получается из таблицы истинноcти функции;
• СДНФ удобна в качестве базового выражения для минимизации функции, в ней особенно просто находятся слагаемые, пригодные для «склейки».

Пример нахождения СДНФ

Для того, чтобы получить СДНФ функции, требуется составить её таблицу истинности. К примеру, возьмём одну из таблиц истинности:

$x_1$	$x_2$	$x_3$	$f(x_1,x_2,x_3)$
0	0	0	1
0	0	1	1
0	1	0	1
0	1	1	0
1	0	0	0
1	0	1	0
1	1	0	1
1	1	1	0

В ячейках результата $f(x_1,x_2,x_3)$ отмечаются лишь те комбинации, которые приводят логическое выражение в состояние единицы. Далее рассматриваются значения переменных, при которых функция равна 1. Если значение переменной равно 0, то она записывается с инверсией. Если значение переменной равно 1, то без инверсии.

Первая строка содержит 1 в указанном поле. Отмечаются значения всех трёх переменных, это:

• $x_1=0$
• $x_2=0$
• $x_3=0$

Нулевые значения — тут все переменные представлены нулями — записываются в конечном выражении инверсией этой переменной. Первый член СДНФ рассматриваемой функции выглядит так: $\overline{x_1}\cdot \overline{x_2}\cdot \overline{x_3}$

Переменные второго члена:

• $x_1=0$
• $x_2=0$
• $x_3=1$

$x_3$ в этом случае будет представлен без инверсии: $\overline{x_1}\cdot \overline{x_2}\cdot x_3$

Таким образом анализируются все ячейки $f(x_1,x_2,x_3)$. Совершенная ДНФ этой функции будет дизъюнкцией всех полученных членов (элементарных конъюнкций).

Совершенная ДНФ этой функции:

$f(x_1,x_2,x_3)=(\overline{x_1}\wedge \overline{x_2}\wedge \overline{x_3})\vee (\overline{x_1}\wedge \overline{x_2}\wedge x_3)\vee (\overline{x_1}\wedge x_2\wedge \overline{x_3})\vee (x_1\wedge x_2\wedge \overline{x_3})$

См. также

• Дизъюнктивная нормальная форма
• Конъюнктивная нормальная форма
• Совершенная конъюнктивная нормальная форма