Соответствие Карри — Ховарда

Соответствие Карри — Ховарда (изоморфизм Карри — Ховарда, Шаблон:Lang-en) — наблюдаемая структурная эквивалентность между математическими доказательствами и программами, которая может быть формализована в виде изоморфизма между логическими системами и типизированными исчислениями.

Хаскелл Карри и Шаблон:Не переведено заметили, что построение конструктивного доказательства похоже на описание вычислений, а высказывания конструктивной логики по своей структуре схожи с типами вычисляемых выражений — программ для вычислительной машины. Ранние проявления этой связи — Шаблон:Iw (1925), задающая семантику интуиционистской логики через вычисления доказательств, и теория Шаблон:Iw Клини (1945).

Соответствие Карри — Ховарда в современном представлении не ограничивается какой-то одной логикой или системой типов. Например, логика высказываний соответствует простому типизированному λ-исчислению, Шаблон:Не переведено — полиморфному λ-исчислению, исчисление предикатов — λ-исчислению с зависимыми типами.

В рамках изоморфизма Карри — Ховарда следующие структурные элементы рассматриваются как эквивалентные:

Логические системы	Языки программирования
Высказывание	Тип
Доказательство высказывания $P$	Терм (выражение) типа $P$
Утверждение $P$ доказуемо	Тип $P$ обитаем
Импликация $P\Rightarrow Q$	Функциональный тип $P\to Q$
Конъюнкция $P\wedge Q$	Тип произведения (пары) $P\times Q$
Дизъюнкция $P\vee Q$	Тип суммы (размеченного объединения) $P+Q$
Истинная формула	Единичный тип
Ложная формула	Пустой тип ($\mathrm{\perp }$)
Квантор всеобщности $\mathrm{\forall }$	Тип зависимого произведения ($\mathrm{\Pi }$-тип)
Квантор существования $\mathrm{\exists }$	Тип зависимой суммы ($\mathrm{\Sigma }$-тип)

Простейшим примером соответствия Карри — Ховарда может служить изоморфизм между простым типизированным λ-исчислением и фрагментом интуиционистской логики высказываний, включающим только импликацию. Например, тип $(P\to Q\to R)\to (P\to Q)\to P\to R$ в простом типизированном лямбда-исчислении соответствует высказыванию $(P\Rightarrow (Q\Rightarrow R))\Rightarrow ((P\Rightarrow Q)\Rightarrow (P\Rightarrow R))$ логики высказываний. Для доказательства этого высказывания необходимо сконструировать терм указанного типа (если это удаётся сделать, то про тип говорят, что он обитаем или населён), в данном случае можно предъявить нужный терм: $\lambda fgx\to fx(gx)$, и это значит, что тавтология $(P\Rightarrow (Q\Rightarrow R))\Rightarrow ((P\Rightarrow Q)\Rightarrow (P\Rightarrow R))$ доказана.

Использование изоморфизма Карри — Ховарда позволило создать целый класс функциональных языков программирования, среда выполнения которых одновременно является системой автоматического доказательства, таких как Coq, Agda и Шаблон:Не переведено.

Литература

• Шаблон:Книга
  • Перевод на русский язык: Шаблон:Книга