Соотношения Мэнли — Роу

Соотношения Мэнли — Роу — энергетические соотношения, характеризующие взаимодействие колебаний или волн в нелинейных системах с сосредоточенными или распределёнными параметрами. Они были впервые получены в 1956 году Дж. Мэнли и Г. Э. Роу для колебаний в нелинейной реактивной системе с сосредоточенными параметрами, а впоследствии обобщены на волны в нелинейных средах.

Соотношения Мэнли — Роу справедливы для системы с произвольной реактивной нелинейной связью. В совокупности с законами сохранения энергии и импульса, соотношения Мэнли — Роу определяют характер нелинейного взаимодействия волн (колебаний) и позволяют рассчитать максимальную эффективность преобразователя частоты на реактивной нелинейности.

Общий вид

В общем виде соотношения Мэнли — Роу могут быть записаны следующим образом:

$\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{m\cdot P_{mn}}{m\cdot {\omega }_1+n\cdot {\omega }_2}=0,m\in \mathbb{Z}$

$\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n\cdot P_{mn}}{m\cdot {\omega }_1+n\cdot {\omega }_2}=0,n\in \mathbb{Z}$

где

• $P_{mn}$ — изменение мощности на комбинационной частоте $m\cdot {\omega }_{\text{H}}+n\cdot {\omega }_{\text{C}}$,
• ${\omega }_1,{\omega }_2$ — частоты исходных колебаний (волн). Причём отношение $\frac{{\omega }_2}{{\omega }_1}$ должно быть иррационально, поскольку в противном случае, возможно выразить все частоты как гармоники одной фундаментальной частоты.

Первое из соотношений Мэнли — Роу представляет собой закон сохранения числа квантов, которые в зависимости от природы взаимодействующих волн представляют собой фотоны, фононы, плазмоны, магноны или другие взаимодействующие квазичастицы.

Можно вычислить следующие величины:

• $A_{mn}=\frac{|P_{mn}|}{\hslash \cdot (m\cdot {\omega }_1+n\cdot {\omega }_2)}$ — число квантов комбинационной частоты;
• $m\cdot A_{m,n}$ — число квантов частоты ${\omega }_1$, затраченных ($P_{mn}>0$) или образованных ($P_{mn}<0$) при возбуждении комбинационной частоты;
• $n\cdot A_{m,n}$ — число квантов частоты ${\omega }_2$, затраченных ($P_{mn}>0$) или образованных ($P_{mn}<0$) при возбуждении комбинационной частоты.

Соотношения для трёхчастотного взаимодействия

Рассмотрим соотношения Мэнли — Роу в частном случае трёхчастотного взаимодействия. Пусть, например, комбинационной является разностная частота ${\omega }_0={\omega }_1-{\omega }_2$. Тогда система имеет три частоты:

• ${\omega }_0(m=1,n=-1)$
• ${\omega }_1(m=1,n=0)$
• ${\omega }_2(m=0,n=1)$

В этом случае соотношения Мэнли — Роу принимают вид:

$\frac{P_{0,1}}{{\omega }_2}=\frac{P_{1,-1}}{{\omega }_0}=-\frac{P_{1,0}}{{\omega }_1}$

Обобщение для комбинации многих частот

Пусть источники или стоки квантов происходят на частотах

$\sum _{i=1}^N{m}_i{\omega }_i,\frac{{\omega }_i}{{\omega }_j}\notin \mathbb{Q}$

В этом случае будем иметь систему из $N$ соотношений:

$\sum _{m_1,m_2,\dots ,m_N}\frac{m_i\cdot P_{m_1{m}_2\dots m_N}}{m_1\cdot {\omega }_1+m_2\cdot {\omega }_2+\dots +m_N\cdot {\omega }_N}=0,i=\overline{1,N}$

См. также

• Солитон

Ссылки

• Шаблон:Из