Спираль Галилея

Спираль Галилея — плоская трансцендентная кривая, уравнение которой в полярных координатах имеет вид:

$\rho =\alpha {\phi }^2-d,$ где $d⩾0.$

Спираль Галилея можно представить как траекторию точки, равноускоренно движущейся по прямой, причём эта прямая равномерно вращается вокруг некоторой своей точки. Таким образом, уравнение можно переписать в обычных физических обозначениях:

$\{\begin{array}{c}\rho =\frac{1}{2}a{t}^2+v_{0}t+{\rho }_0\\ \theta =\omega t\end{array}$

После поворота системы координат это уравнение можно привести к стандартному виду $\rho =\alpha {\phi }^2-d.$

Кривая симметрична относительно полярной оси, в полюсе — двойная точка, касательные к которой образуют углы с полярной осью $\pm \sqrt{d/a}.$ На полярной оси расположено бесконечно много двойных точек, они находятся на расстояниях $\rho =\alpha k^2{\pi }^2-d$ (где $k=1,2,3,...$) от центра.

Уравнение криволинейных абсцисс: $ds=\sqrt{a^2+2b(a+2b){\theta }^2+b^2{\theta }^{4}d\theta }$

Названа в честь Г. Галилея в связи с его работами по теории свободного падения тел. Действительно, если учитывать вращение Земли, то траектория камня, падающего с башни — это спираль Галилея.

Литература

• Прохоров Ю. В. «Математический энциклопедический словарь», М.: Советская энциклопедия, 1988.