Спрос Хикса

В теории потребителя спрос Хикса отражает те наборы, которые потребитель выберет при заданных ценах и уровне полезности, решая задачу минимизации своих расходов. Назван по имени английского экономиста Хикса. Также называют компенсированным спросом.

Математическая запись

$h(p,\overline{u})=\arg \underset{x}{\min }\sum _i{p}_i{x}_i,$

$\text{при}u(x)\ge \overline{u},$

где h(p,u) — спрос Хикса при ценах p и значении функции полезности $\overline{u}$.

В случае когда известна функция расходов $e(p,u)$ и она непрерывна в точке $(\overline{p},\overline{u})$, компенсированный спрос может быть найден по лемме Шепарда и выглядит следующим образом: $h_i(\overline{p},\overline{u})={\mathrm{\nabla }}_{p}e(\overline{p},\overline{u}).$

Двойственность в теории потребления

Удобство подхода Хикса заключается в том, что минимизируемая функция расходов имеет линейный вид, но переменные для функции маршалловского спроса (p, w), легче наблюдать на практике.

Если предпочтения потребителя являются непрерывными и функция полезности задана в нуле так, что $\overline{u}>u(0)$, то спрос по Хиксу $\tilde{x}(\tilde{p},\overline{u})$ является решением задачи максимизации полезности при ценах $\tilde{p}$ и доходе $\tilde{I}=e(\tilde{p},\overline{u}))$, где e(•) — функция расходов. При этом $v(e(\tilde{p},\overline{u}))=\overline{u}$.

Обратное тоже имеет место, но при других условиях. Если предпочтения являются локально ненасыщаемыми, то маршалловский спрос $\tilde{x}(\tilde{p},\tilde{I})$ является решением задачи минимизации расходов $\tilde{x}(\tilde{p},v(\tilde{p},\tilde{I}))$ и $e(\tilde{p},v(\tilde{p},\tilde{I}))=\tilde{I}$.

Свойства

При условии непрерывности функции полезности $u(x)$ и задания её в нуле таким образом, что $\overline{u}>u(0)$, спрос Хикса $h(p,u)$ обладает следующими свойствами:

1. Однородность нулевой степени по ценам p: для всех $a>0$, $h(ap,u)=h(p,u)$, так как набор x, минимизирующий сумму $\sum p_i{x}_i$, также минимизирует сумму $\sum a{p}_i{x}_i$ при том же бюджетном ограничении.
2. Ограничение $u(x)\ge \overline{u}$ удовлетворяется как равенство: $\mathrm{\forall }{x}^{*}\in h(p,\overline{u})u(x^{*})=\overline{u}$. Это следует из непрерывности функции полезности, так как можно тратить меньше на некое δe и уменьшать значение полезности на δu, пока оно не станет равным в точности $\overline{u}$.
3. Если предпочтения выпуклы, то $h(p,\overline{u})$ — выпуклое множество.
4. Если предпочтения строго выпуклые, то $h(p,\overline{u})$ состоит из одного элемента (является функцией компенсированного спроса).
5. Имеет место закон компенсированного спроса:

$\mathrm{\forall }{x}^{\prime }\in h(p^{\prime },\overline{u}),x^{″}\in h(p^{″},\overline{u}):(p^{\prime }-p^{″})(x^{\prime }-x^{″})<0.$

См. также

• Задача потребителя
• Маршалловский спрос

Литература

• Шаблон:Книга.