Среднее Колмогорова

Среднее Колмогорова или среднее по Колмогорову для действительных чисел $x_1,\dots ,x_n$ — это величина вида

$(*)M(x_1,\dots ,x_n)={\phi }^{-1}(\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\phi (x_k))={\phi }^{-1}\left(\frac{\phi (x_1)+\dots +\phi (x_n)}{n}\right)$

где $\phi$ — непрерывная строго монотонная функция, а ${\phi }^{-1}$ — функция, обратная к $\phi$, причём аргументом этой обратной функции является средняя сумма в скобках.

Примеры

При выборе определённых функций $\phi$ среднее Колмогорова даёт различные классические средние:

• при $\phi (x)=x$ — среднее арифметическое;
• при $\phi (x)={\log }_{a}x$ — среднее геометрическое;
• при $\phi (x)=\frac{1}{x}$ — среднее гармоническое;
• при $\phi (x)=x^2$ — среднее квадратическое;
• при $\phi (x)=x^{\alpha },\alpha \ne 0$ — среднее степенное.

Свойства

В 1930 году А. Н. Колмогоров показал, что любая средняя величина $M(x_1,\dots ,x_n)$ имеет вид $(*)$, если она обладает свойствами:

• непрерывности,
• монотонности по каждому $x_i$, $i=1,\dots ,n,$
• симметричности (среднее не меняется при перестановке аргументов),
• среднее от набора равных чисел равно их значению,
• замена значений всех чисел любой подгруппы в наборе $x_1,\dots ,x_n$ на значение среднего для этой подгруппы не меняет значение среднего всего набора.

Приложения

Средние Колмогорова используют в прикладной статистике и эконометрике. В соответствии с теорией измерений, для усреднения данных, измеренных в шкале интервалов, из всех средних Колмогорова можно использовать только среднее арифметическое, а для усреднения данных, измеренных в шкале отношений, из всех средних Колмогорова можно использовать только степенные средние и среднее геометрическое.

Обобщения

Для непрерывно распределённой величины $f(x)$ среднее Колмогорова на отрезке $[a;b]$:

$M_{[a;b]}(f(x))={\phi }^{-1}(\frac{1}{b-a}\underset{a}{\overset{b}{\int }}\phi (f(x))dx).$

См. также

• Прикладная статистика
• Эконометрика