Среднее значение функции

Среднее значение функции — некоторое число, заключённое между наименьшим и наибольшим её значениями. В дифференциальном и интегральном исчислении имеется ряд «теорем о среднем», устанавливающих существование таких точек, в которых функция или её производная получает то или иное среднее значение. Наиболее важной теоремой о среднем значении функции в дифференциальном исчислении является теорема Лагранжа (теорема о конечном приращении): если $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a,b]$ и дифференцируема в интервале $(a,b)$, то существует точка $c$, принадлежащая интервалу $(a,b)$, такая, что $f(b)-f(a)=(b-a)f^{\prime }(c)$. В интегральном исчислении наиболее важной теоремой о среднем значении является следующая: если $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a,b]$, а $\phi (x)$ сохраняет постоянный знак, то существует точка $c$ из интервала $(a,b)$ такая, что

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\phi (x)dx=f(c)\underset{a}{\overset{b}{\int }}\phi (x)dx.$

В частности, если $\phi (x)=1$, то

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=f(c)(b-a).$

Вследствие этого под средним значением функции $f(x)$ на отрезке $[a,b]$ обычно понимают величину

$\bar{f}=\frac{1}{b-a}\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx.$

Аналогично определяется среднее значение функции нескольких переменных в некоторой области.