Субдифференциал

Субдифференциал функции f, заданной на банаховом пространстве E — это один из способов обобщить понятие производной на произвольные функции. Хотя при его использовании приходится пожертвовать однозначностью отображения (значения субдифференциала в общем случае — множества, а не отдельные точки), он оказывается довольно удобным: любая выпуклая функция оказывается субдифференцируемой на всей области определения. В тех случаях, когда о дифференцируемости функции заранее ничего не известно, это оказывается существенным преимуществом.

Кроме того, субдифференциал (при довольно слабых ограничениях на функцию) по своим свойствам во многом подобен обычной производной. В частности, для дифференцируемой функции они совпадают, а для недифференцируемой он оказывается как бы «множеством возможных производных» в данной точке. Значения субдифференциала являются выпуклыми подмножествами сопряженного пространства E*.

Определение

Субдифференциалом $\partial f(x_0)$ выпуклой функции $f:E\to ℝ$ в точке $x_0$ называется множество, состоящее из всех линейных функционалов $p\in E^{*}$, удовлетворяющих для всех $x\in E$ неравенству

$p(x-x_0)\le f(x)-f(x_0)$.

Функция $f(x)$ называется субдифференцируемой в точке $x_0$, если множество $\partial f(x_0)$ непусто.

Вектор $p\in E^{*}$, принадлежащий субдифференциалу $\partial f(x_0)$, называется субградиентом функции $f(x)$ в точке $x_0$.

Свойства

• $\partial f(x_0)$ — выпуклое (возможно пустое) множество в $E^{*}$

Пусть f₁(x), f₂(x) — выпуклые конечные функции, причем одна из них непрерывна в точке x, $\lambda \ge 0$, тогда

• $\partial (f_1(x)+f_2(x))=\partial (f_1(x))+\partial (f_2(x))$, сумма понимается в смысле суммы Минковского.

• $\partial (\lambda f_1(x))=\lambda \partial f_1(x)$

• Если функция $f:E\to ℝ$ выпукла и непрерывна в точке $x\in E$, то она субдифференцируема в этой точке $x\in E$, то есть $\partial f(x)\ne \varnothing$, и её субдифференциал $\partial f(x)$ является множеством компактным и выпуклым

• Пусть функция $f:E\to ℝ$ выпукла и конечна. В этом случае функция $f(x)$ дифференцируема по Гато в точке $x_0\in E$ тогда и только тогда, когда её субдифференциал в этой точке состоит из единственного вектора $\partial f(x_0)=\left\{\frac{\partial f(x_0)}{\partial x}\right\}$

• Функция имеет локальный минимум в точке тогда и только тогда, когда 0 принадлежит субдифференциалу в этой точке.

• Если последовательность выпуклых функций $f_n$ сходится поточечно к выпуклой функции $f$, то для любой сходящейся последовательности $p_n\in {\partial }_{x_0}{f}_n$ её предел $p=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{p}_n$ принадлежит субдифференциалу ${\partial }_{x_0}f$.

Субдифференциал функции на одномерном интервале

Пример

Выпуклая функция (синяя) и "подкасательные" к её графику в точке $x_0$ (красные).

Пусть $f:I\to ℝ$ — вещественнозначная выпуклая функция, определённая на принадлежащем прямой открытом интервале. Такая функция может быть дифференцируема не во всех точках. Например, функция $f(x)=|x|$ недифференцируема при $x=0$. Однако, как это можно видеть на графике, расположенном справа , для всякого $x_0$ из области определения через точку $(x_0,f(x_0))$ может быть проведена прямая, которая либо касается графика функции $f(x)$, либо располагается под этим графиком. Допустимые наклоны таких прямых образуют то, что именуется субдифференциалом.

Определение

Субпроизводная выпуклой функции $f:I\to ℝ$ в точке $x_0$ на открытом интервале $I$ — это вещественное число $c$, такое, что $$f(x)-f(x_0)\ge c(x-x_0)$$ для всех $x\in I$. По теореме, обратной теореме о среднем значении, для выпуклой функции множество субпроизводных в точке $x_0$ — непустой замкнутый промежуток $[a,b]$, где $a$ и $b$ — односторонние пределы $$a=\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0},$$ $$b=\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.$$ Множество $[a,b]$ всех субпроизводных называют субдифференциалом функции $f$ в точке $x_0$. Субдифференциал обозначают $\partial f(x_0)$. Если функция $f$ выпукла, то её субдифференциал в любой точке не пуст. Более того, если её субдифференциал в точке $x_0$ содержит ровно одну субпроизводную,, то $\partial f(x_0)=\{f^{\prime }(x_0)\}$ и функция $f$ дифференцируема в точке $x_0$.

Ссылки

• Половинкин Е. С, Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. — Шаблон:М: Физматлит, 2004. — 416 с — ISBN 5-9221-0499-3.
• Jean-Baptiste Hiriart-Urruty, Claude Lemaréchal Fundamentals of Convex Analysis. — Springer, 2001. ISBN 3-540-42205-6.