Сферический дизайн

Сферическая дизайн — набор из $N$ точек на d-мерной сфере ${𝕊}^d$, такой, что среднее значение любого многочлена $f$ степени $t$ или меньше по точкам набора равно среднему значению $f$ по сфере. Эта конструкция даёт особый тип кубатурных формул.

Сферические дизайны полезны в теории приближений, в статистике для проектирования экспериментов, в комбинаторике и в геометрии. Основная вопрос в нахождении примеров для данных $d$ и $t$, при не слишком большом $N$.

Существование

Существование и структура дизайнов на окружности изучались ХонгомШаблон:Sfn. Вскоре после этого Сеймур и ЗаславскийШаблон:Sfn доказали, существование дизайнов с достаточно большим числом точек. То есть при заданных натуральных числах $d$ и $t$ существует число $N(d,t)$, такое, что для каждого $N⩾N(d,t)$ на ${𝕊}^d$ найдётся сферический $t$-дизайн из $N$ точек. Однако их доказательство не позволяло явно оценить значение $N(d,t)$.

В 2013 году Бондаренко, Радченко и Вязовская Шаблон:Sfn получили асимптотическую верхнюю границу $N(d,t)<C_d{t}^d$ для всех натуральных чисел $d$ и $t$. Она соответствует нижней границе, первоначально заданной Дельсартом, Геталсом и Зайделем.

См. также

• Задача Томсона

Внешние ссылки

• Сферические t-дизайны для различных значений $N$ и $t$ можно найти на веб-сайте Нила Слоуна и Роберта Уомерсли.

Ссылки

• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation. Reprinted in Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.