Сфероид Маклорена

Сферо́ид Макло́рена — сплюснутый сфероид, возникающий в случае вращения самогравитирующего жидкого тела с однородным распределением плотности с постоянной угловой скоростью. Сфероид назван в честь шотландского математика Колина Маклорена, предположившего такую форму Земли в 1742 году. На самом деле Земля существенно менее сплюснута, поскольку не является однородной и обладает плотным железным ядром. Сфероид Маклорена считается простейшей моделью эллипсоидальной фигуры вращения в состоянии равновесия, поскольку обладает постоянной плотностью.

Формула Маклорена

Квадрат угловой скорости (в единицах $\pi G\rho$) для сфероида Маклорена

Для сплюснутого сфероида с большой полуосью $a$ и малой полуосью $c$ угловая скорость $\mathrm{\Omega }$ задаётся формулой Маклорена

$\frac{{\mathrm{\Omega }}^2}{\pi G\rho }=\frac{2\sqrt{1-e^2}}{e^3}(3-2e^2)\arcsin e-\frac{6}{e^2}(1-e^2),e^2=1-\frac{c^2}{a^2},$

где $e$ является эксцентриситетом меридионального сечения сфероида, $\rho$ — плотность, $G$ — гравитационная постоянная. Формула предсказывает два возможных типа фигуры равновесия при $\mathrm{\Omega }\to 0$, одной из них является сфера ($e\to 0$), другой является плоский сфероид ($e\to 1$).

Максимальная угловая скорость возникает при эксцентриситете $e=0,92995$, значение квадрата максимальной угловой скорости равно ${\mathrm{\Omega }}^2=0,449331\pi G\rho$, то есть выше этой скорости фигуры равновесия не существует. Это противоречит наблюдательным данным. Причиной противоречия может быть наличие двух нереалистичных предположений: одно состоит в однородности распределения плотности, другое — в том, что форма поверхности представляет собой простую квадрику.

Момент импульса $L$ сфероида Маклорена задаётся выражением

$\frac{L}{\sqrt{G{M}^3\overline{a}}}=\frac{\sqrt{3}}{5}{\left(\frac{a}{\overline{a}}\right)}^2\sqrt{\frac{{\mathrm{\Omega }}^2}{\pi G\rho }},$

где $M=\frac{4\pi }{3}\rho a^3\sqrt{1-e^2}$ — масса сфероида, $\overline{a}=(a^{2}c{)}^{1/3}$ — средний радиус, то есть радиус сферы такого же объёма, что и сфероид. В более простом выражении

$L=\frac{2}{5}M\mathrm{\Omega }{a}^2.$

Кинетическая энергия сфероида

$K=\frac{1}{5}M{\mathrm{\Omega }}^2{a}^2.$

Устойчивость

Для сфероида Маклорена с эксцентриситетом более 0,812670 трёхосный Шаблон:Iw с тем же моментом импульса обладает меньшей полной энергией. Если такой эллипсоид состоит из вязкой жидкости и не испытывает возмущений, способных нарушить симметрию вращения, то он вытянется и примет форму эллипсоида Якоби, при этом часть энергии перейдёт в тепловую форму. Для аналогичного сфероида из невязкой жидкости возмущения приведут к незатухающим колебаниям.

Сфероид Маклорена с эксцентриситетом более 0,952887 динамически неустойчив. Даже если объект состоит из невязкой жидкости и не теряет энергию, малые возмущения будут расти по экспоненциальному закону. Динамическая неустойчивость подразумевает вековую неустойчивость.