Счёт денежного рынка

Шаблон:Нет источников Банковский счет (счет денежного рынка — money market account) — понятие, применяемое в стохастической финансовой теории (математике), обозначающее локально предсказуемый случайный процесс $B_t$ экспоненциального роста условной начальной суммы $B_0$, обычно принимаемой равной одной денежной единице. Локальный темп роста (процентная ставка этого счета) при этом представляет собой случайный процесс в общем случае. Эту процентную ставку называют также краткосрочной ставкой (short rate), иногда мгновенной спот-ставкой.

В дискретном времени локальная предсказуемость процесса банковского счета означает, что остаток счета в конце очередного периода известно в начале этого периода начисления. Примером такого счета в дискретном времени является счет, на который за каждый последующий день начисляется овернайт-ставка, установленная за предшествующий день (при этом овернайт-ставка может изменяться каждый день случайным образом).

Банковский счет и соответствующая ставка начисления неявно предполагаются безрисковыми — кредитный риск считается нулевым. Неопределенность будущего остатка на счете связана исключительно со случайным характером изменения процентной ставки, а в локальном смысле неопределенность отсутствует - будущее значение за достаточно малый период точно известно в данный момент. При наличии кредитного риска кроме неопределенности из-за изменения ставки имеется неопределенность, связанная с получением средств от контрагента, поэтому будущий остаток на счете не определяется только динамикой ставки.

Наиболее приближенным практическим примером может служить счет, на который начисляется овернайт-ставка SOFR, RUSFAR, RUONIA, ESTR и т.д. Часто необеспеченные овернайт-ставки между надежными контрагентами также принимаются за безрисковые ставки.

Банковский счет является базой (так называемым numeraire) при построении риск-нейтральной меры

Математическая формулировка

Дискретное время

Предполагается что в начале каждого дискретного периода времени номер $i$ устанавливается ставка начисления $r_i$, которая начисляется в текущем периоде времени на остаток банковского счета на начало периода (на конец предыдущего периода $B_{i-1}$. Таким образом, за текущий период банковский счет изменится на величину

$\mathrm{\Delta }{B}_i=B_i-B_{i-1}=r_i{B}_{i-1}\mathrm{\Delta }{t}_i$

Принципиально важно, что несмотря на обозначение $r_i$ это значение процентной ставки на $i$ -й период становится известным в конце предыдущего $i-1$-го периода или, что тоже самое - в начале $i$-го периода. Поэтому значение банковского счета в конце $i$-го периода уже известно в начале этого периода (риск возможной потери средств - кредитный риск- исключается, банковский счет неявно рассматривается как безрисковый). Говорят, что случайная величина $B_i$ является ${ℱ}_{i-1}$-измеримая случайная величина.

Соответственно, динамика банковского счета определяется как

$B_n=B_0\prod _{i=1}^n(1+r_i\mathrm{\Delta }{t}_i)$

Непрерывное время

Динамика процесса банковского счета описывается следующим дифференциальным уравнением

$d{B}_t=r_t{B}_{t}dt$

где $r_t$ - мгновенная спот-ставка (случайный процесс).

В данной дифференциальной записи отсутствует компонент, зависящий от некоторого винеровского процесса - это и означает локальную предсказуемость процесса. В случае непрерывного времени иногда говорят, что $B_t$ является ${ℱ}_{t_{-}}$-измеримой случайной величиной.

В интегральной форме процесс имеет вид (процесс экспоненциального роста со случайной интенсивностью)

$B_t=B_0{e}^{\underset{0}{\overset{t}{\int }}{r}_{u}du}=e^{\underset{0}{\overset{t}{\int }}{r}_{u}du}$

Связанные понятия

Дисконтирующий процесс $D(t,T)=B_t/B_T=e^{-\underset{t}{\overset{T}{\int }}{r}_{u}du}$. Дисконтирующий процесс применяется в формулах оценки будущего условного платежа в риск-нейтральной мере:

$V_t={𝔼}_t^{\mathbb{Q}}[D(t,T)V_T]$

Эта же формула применима и для стоимости бескупонной облигации с единичным номиналом (дисконт- фактор), когда $V_T=P(T,T)=1$

$P(t,T)={𝔼}_t^{\mathbb{Q}}[D(t,T)]={𝔼}_t^{\mathbb{Q}}(B_t/B_T)={𝔼}_t^{\mathbb{Q}}\left[e^{-\underset{t}{\overset{T}{\int }}{r}_{u}du}\right]$

Таким образом, применяемые на практике дисконт-факторы (по безрисковым ставкам) - это условные математические ожидания (в риск-нейтральной мере) дисконтирующего процесса, определяемого через процесс банковского счета. Если процесс процентной ставки является детерминированным, то дисконт-факторы и дисконтирующий процесс совпадают.