Теорема Бохнера — Хинчина

Теорема Бохнера — Хинчина — в теории вероятностей: теорема о необходимых и достаточных условиях для того, чтобы функция была характеристической; в теории случайных процессов: теорема о свойствах корреляционной функции стационарных процессов.

Теория вероятностей

Формулировка

Пусть $\phi (u)$ - непрерывная функция $u\in R^n$ и $\phi (0)=1$. Для того, чтобы функция $\phi (u)$ была характеристической, необходимо и достаточно, чтобы она была неотрицательно определённой функцией, то есть при каждом целом $m>0$ для любых вещественных чисел $u_1,u_2,...,u_m$ и любых комплексных чисел $z_1,z_2,...,z_m$ выполняется неравенство $\sum _{i,j=1}^m\phi (u_i-u_j)z_i\overline{z_j}⩾0$.

Здесь $\overline{z_j}$ означает комплексно сопряжённое к $z_j$ число.

Теория случайных процессов

Формулировка

Пусть $\{\xi (t),t\in T\}$ - стационарный в широком смысле процесс с корреляционной функцией $B(t)$.

• Если $\{\xi (t),t\in T\}$ - скалярный процесс с дискретным временем, то:

$B(t)=\{\begin{array}{cc}\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{e}^{i\lambda t}dF(\lambda ),& \text{в случае комплексного процесса}\\ \underset{0}{\overset{\pi }{\int }}[\cos (\lambda t)dC(\lambda )+\sin (\lambda t)dQ(\lambda )],& \text{в случае действительного процесса}\end{array}$

где $F(\lambda )$ - неотрицательная неубывающая функция, определяемая по $B(t)$ однозначно, если потребовать, чтобы $F(-\pi )=0$ и $F(\lambda )$ была непрерывной справа, $C(\lambda )$ - действительная четная неубывающая функция ограниченной вариации, $Q(\lambda )$ - действительная нечетная функция ограниченной вариации.

• Если $\{\xi (t),t\in T\}$ - векторный процесс с дискретным временем, то для $B(t)$ имеет место представление как для скалярного процесса с дискретным временем, где $F(\lambda )$ - матрица, приращения которой $F({\lambda }_1)-F({\lambda }_2),{\lambda }_1⩾{\lambda }_2$ эрмитовы и неотрицательно определены, $C(\lambda )$ - вещественная симметричная матрица, приращения которой $C({\lambda }_1)-C({\lambda }_2),{\lambda }_1⩾{\lambda }_2$ неотрицательно определены, $Q(\lambda )$ - вещественная кососимметрическая матрица. Матрица $F(\lambda )$ определяется однозначно по $B(t)$, если потребовать, чтобы $F(-\pi )=0$ (нулевая матрица) и $F(\lambda )$ была непрерывной справа (в смысле поэлементной сходимости).

• Если $\{\xi (t),t\in T\}$ - скалярный процесс с непрерывным временем, то:

$B(t)=\{\begin{array}{cc}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{i\lambda t}dF(\lambda ),& \text{в случае комплексного процесса}\\ \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}[\cos (\lambda t)dC(\lambda )+\sin (\lambda t)dQ(\lambda )],& \text{в случае действительного процесса}\end{array}$

где функции $F(\lambda ),C(\lambda ),Q(\lambda )$ определяются так же, как в случае скалярного процесса с дискретным временем, за исключением условия $F(-\mathrm{\infty })=0$.

• Если $\{\xi (t),t\in T\}$ - векторный процесс с непрерывным временем, то для $B(t)$ имеют место представления как в случае скалярного процесса с непрерывным временем, где матрицы $F(\lambda ),C(\lambda ),Q(\lambda )$ определяются так же, как в случае векторного процесса с дискретным временем, за исключением условия $F(-\mathrm{\infty })=0$ (нулевая матрица).

См. также

• Характеристическая функция случайной величины