Теорема Бруна

Сходимость к константе Бруна.

Теорема Бруна утверждает, что сумма чисел, обратных числам-близнецам (парам простых чисел, которые отличаются лишь на 2) сходится к конечному значению, известному как константа Бруна, которая обозначается как B₂ (Шаблон:OEIS). Теорему Бруна доказал Вигго Брун в 1919 году, и она имеет историческое значение для Шаблон:Не переведено 5.

Асимптотические границы чисел-близнецов

Сходимость суммы обратных к числам-близнецам следует из ограниченности плотности последовательности чисел-близнецов. Пусть ${\pi }_2(x)$ означает число простых $p⩽x$ чисел, для которых p + 2 тоже является простым (то есть ${\pi }_2(x)$ является числом чисел-двойников, не превосходящих x). Тогда для $x⩾3$ мы имеем

${\pi }_2(x)=O\left(\frac{x(\log \log x{)}^2}{(\log x{)}^2}\right).$

То есть числа-близнецы более редки по сравнению с простыми числами почти на логарифмический множитель. Из этого ограничения следует, что сумма обратных к числам-близнецам сходится, или, другими словами, числа-близнецы образуют Шаблон:Не переведено 5. Сумма в явном виде

$\sum _{p:p+2\in \mathbb{P}}\left(\frac{1}{p}+\frac{1}{p+2}\right)=\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{7}\right)+\left(\frac{1}{11}+\frac{1}{13}\right)+\cdots$

либо имеет конечное число членов, либо имеет бесконечное число членов, но сходится к значению, известному как константа Бруна.

Из факта, что сумма обратных значений простым числам расходится, вытекает, что существует бесконечно много простых чисел. Поскольку сумма обратных значений чисел-близнецов сходится, из этого результата невозможно заключить, что существует бесконечно много чисел-близнецов. Константа Бруна иррациональна только в случае бесконечного числа чисел-двойников.

Числовые оценки

При вычислении чисел-двойников вплоть до 10¹⁴ (и обнаружении по пути ошибки Pentium FDIV), Томас Р. Найсли эвристически оценил константу Бруна примерно равной 1,902160578. Найсли расширил вычисления до 1,6Шаблон:E к 18 января 2010 года, но это не было самое большое вычисление этого типа.

В 2002 году Паскаль Себа и Патрик Демишель использовали все числа-двойники вплоть до 10¹⁶ и получили оценку

B₂ ≈ 1,902160583104.

Оценка опирается на оценку суммы в 1,830484424658... для чисел-двойников, меньших 10¹⁶. Доминик Клайв показал (в неопубликованных тезисах), что B₂ < 2,1754 в предположении, что верна расширенная гипотеза Римана, и что B₂ < 2,347 безотносительно верности расширенной гипотезы Римана.

Существует также константа Бруна для квадруплетов близнецов. Шаблон:Не переведено 5 — это пара двух простых двойников, разделённых расстоянием 4 (наименьшее возможное расстояние). Несколько квадруплетов — (5, 7, 11, 13), (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109). Константа Бруна для квадруплетов, обозначаемая B₄, является суммой обратных чисел ко всем квадруплетам:

$B_4=(\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{11}+\frac{1}{13})+(\frac{1}{11}+\frac{1}{13}+\frac{1}{17}+\frac{1}{19})+(\frac{1}{101}+\frac{1}{103}+\frac{1}{107}+\frac{1}{109})+\cdots$

И эта сумма равна

B₄ = 0,87058 83800 ± 0,00000 00005, ошибка имеет уровень уверенности в 99 % (согласно Найсли).

Эту константу не следует путать с константой Бруна для Шаблон:Не переведено 5, пар простых чисел вида (p, p + 4), поскольку эта константа тоже записывается как B₄.

Дальнейшие результаты

Пусть $C_2=0,6601\dots$ (Шаблон:OEIS) — константа простых-близнецов. Есть гипотеза, что

${\pi }_2(x)\sim 2C_2\frac{x}{(\log x{)}^2}.$

В частности,

${\pi }_2(x)<(2C_2+\epsilon )\frac{x}{(\log x{)}^2}$

для любого $\epsilon >0$ и всех достаточно больших x.

Многие специальные случаи, упомянутые выше, были доказаны. Недавно Цзие У (Jie Wu) доказал, что для достаточно большого x,

${\pi }_2(x)<4,5\frac{x}{(\log x{)}^2}$,

где 4,5 соответствует случаю $\epsilon \approx 3,18$ выше.

В популярной культуре

Цифры константы Бруна были использованы в заявке в $1.902.160.540 на патентном аукционе Nortel. Заявка была опубликована компанией Google и была одной из трёх заявок Google, основанных на математических константах.

См. также

• Ряд обратных простых чисел
• Константа Майсселя — Мертенса

Литература

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга Перепечатано в Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1990.
• Шаблон:Книга Содержит более современное доказательство.
• Шаблон:Статья
• В. И. Зенкин. Распределение простых чисел. Элементарные методы. Калининград, 2008.

Ссылки

• Шаблон:Mathworld
• Шаблон:Mathworld
• Шаблон:PlanetMath
• Sebah, Pascal and Xavier Gourdon, Introduction to twin primes and Brun's constant computation, 2002. A modern detailed examination.
• Wolf's article on Brun-type sums