Теорема Буземана о центральных сечениях

Теорема Буземана о центральных сечениях — теорема выпуклой геометрии о свойствах площадей центральных сечений симметричного выпуклого тела.

Теорема была доказана Буземаном в 1949 году, она имеет приложения в финслеровой геометрии.

Формулировка

Предположим, $K$ — выпуклое симметричное тело в $d$-мерном евклидовом пространстве с центром в начале координат. Рассмотрим тело сечений $K$, то есть тело $L$, ограниченное гиперповерхностью, которая образована всеми векторами вида

$S(K\cap u^{\perp })\cdot u,$

где $u$ — единичный вектор, $u^{\perp }$ — гиперплоскость, проходящая через начало координат и перпендикулярная $u$, а $S$ — площадь, точнее $(d-1)$-мерный объём.

Тогда тело $L$ выпукло.

Следствия

• В $d$-мерном нормированном пространстве, область гиперплоскости минимизирует $(d-1)$-мерную меру Хаусдорфа среди поверхностей с тем же краем.

Ссылки

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья