Теорема Вика — Блоха — Доминисиса

Теорема Вика — Блоха — Доминисиса — утверждение о том, что среднее значение произведения операторов рождения и уничтожения частиц в квантовой статистической механике равно сумме всех возможных полных систем спариваний для этого произведения. Была сформулирована и доказана Блохом и Доминисисом в 1958 году .

Формулировка

Среднее значение произведения операторов рождения и уничтожения ${\displaystyle }$ с гамильтонианом $(1)$ равно сумме всех возможных полных систем спариваний этого произведенияШаблон:Sfn.

Пояснения

Пусть имеется система из $N$ тождественных частиц и пусть её гамильтониан имеет вид:

$H=\sum E_f{n}_f,n_f=a_f^{+}{a}_f,E_f=E_f^{\text{'}}-\lambda (1)$.

где $E_f^{\text{'}}$ - энергия частицы в $f$ - м состоянии, $\lambda$ - химический потенциал. Спариванием двух операторов $A_1,A_2$ рождения или уничтожения частиц называется среднее значение произведения этих операторов $\overline{A_1{A}_2}=⟨A_1{A}_2⟩$. Системой спариваний называется попарная расстановка операторов с соответствующим спариванием. Полной системой спариваний называется система спариваний, после применения которой не остаётся ни одного неспаренного оператора. При этом каждому члену в случае статистики Ферми приписывается знак $(-1{)}^P$, где $P$ - перестановка, переводящая исходное произведение операторов в данное.

Примеры

В случае статистики Ферми среднее значение произведения четырёх операторов рождения и уничтожения частиц равно: $⟨A_1{A}_2{A}_3{A}_4⟩=⟨A_1{A}_2⟩⟨A_3{A}_4⟩-⟨A_1{A}_3⟩⟨A_2{A}_4⟩+⟨A_1{A}_4⟩⟨A_2{A}_3⟩$.

В случае статистики Бозе среднее значение произведения четырёх операторов рождения и уничтожения частиц равно: $⟨A_1{A}_2{A}_3{A}_4⟩=⟨A_1{A}_2⟩⟨A_3{A}_4⟩+⟨A_1{A}_3⟩⟨A_2{A}_4⟩+⟨A_1{A}_4⟩⟨A_2{A}_3⟩$.

Литература

• Шаблон:Книга