Теорема Гротендика о расщеплении

Теорема Гротендика о расщеплении даёт классификацию голоморфных векторных расслоений над комплексной проективной прямой. А именно, она утверждает, что каждое голоморфное векторное расслоение над $ℂ{\mathrm{P}}^1$ является прямой суммой голоморфных 1-мерных расслоений.

История

Теорема названа в честь Александра Гротендика, доказавшего её в 1957 году. Она эквивалентна теореме, доказанной ранее Джорджем Биркгофом в 1913 году, но была известна уже в 1908 году Йосипу Племелю и в 1905 году Давиду Гильберту.

Формулировки

Формулировка Гротендика

Каждое голоморфное векторное расслоение $ℰ$ над $ℂ{\mathrm{P}}^1$ голоморфно изоморфно прямой сумме линейных расслоений:

$ℰ\cong 𝒪(a_1)\oplus \cdots \oplus 𝒪(a_n),$

где $𝒪(a)$ обозначает расслоение с классом Черна $a$. Более того, это представление единственно с точностью до перестановки слагаемых.

Формулировка Биркгофа

Обратимая матрица $M$, каждая компонента которой является многочленом Лорана от $z$, представляется в виде произведения

$M=M^{+}{M}^0{M}^{-}$,

где матрица $M^{+}$ — многочлен от $z$, $M^0$ — диагональная матрица, и матрица $M^{-}$ — многочлен от $\frac{1}{z}$.

Приложения

• Теорема Гротендика о расщеплении используется в доказательстве Микалефа и Мура теоремы о сфере для положительной комплексифицированной кривизной в изотропных направлениях.

Вариации и обобщения

• Тот же результат имеет место для алгебраических векторных расслоений над ${\mathbb{P}}_k^1$ для любого поля $k$.

Литература

• Шаблон:Citation.