Теорема Дворецкого

Tеорема Дворецкого — утверждает, что каждое центрально-симметричное выпуклое множество достаточно высокой размерности имеет сечение, близкое к эллипсоиду.

Доказана Арье Дворецким в начале 1960-х годов как ответ на вопрос поставленный Александром Гротендиком. Альтернативное доказательство найдено Виталием Мильманом в 1970-х годах, оно послужило одной из отправных точек для развития принципа концентрации меры и асимптотического геометрического анализа.

Формулировка

Для любого натурального числа $k$ и каждого $\epsilon >0$ существует такое натуральное число $K$, что если $(X,\Vert \ast \Vert )$ — нормированное пространство размерности $K$, то существует подпространство $E\subset X$ размерности $k$ и положительная квадратичная форма $Q$ на $E$, такая, что:

$\Vert x\Vert ⩽\sqrt{Q(x)}⩽(1+\epsilon )\cdot \Vert x\Vert$

для любого $x\in E$.