Теорема Зайденберга — Тарского

Теорема Зайденберга — Тарского — общее утверждение, которое в частности даёт алгоритм для решения любой задачи элементарной геометрии (точнее, в элементарной теории Евклидовой геометрии). Формально говоря, это утверждение о возможности элиминации кванторов в элементарной теории вещественных чисел, и как следствие, разрешимости этой теории.

Теорема доказана Альфредом Тарским в 1948 году в статье по разрешимости теорий элементарной алгебры и элементарной геометрии. В 1954 году Шаблон:Iw найден более простой и естественный метод доказательства.

Формулировка

Для всякой формулы $\phi$ в сигнатуре, содержащей двуместные предикаты $=$ и $<$, константы $0$ и $1$ и двуместные операции $+$ и $\times$, существует бескванторная формула $\psi$, эквивалентная ей на множестве вещественных чисел $ℝ$.

Замечания

• Эквивалентное утверждение: полуалгебраичность проекций полуалгебраического множества: так как проекция полуалгебраического множества $A\subset {ℝ}^{n+1}$ вдоль одной из осей добавляет в определяющую систему квантор существования, который можно элиминировать, результатом её будет полуалгебраическое множество в ${ℝ}^n$; с другой стороны, полуалгебраичность всякой проекции полуалгебраического множества обеспечивает устранимость квантора существования во всякой формуле, и это является единственным нетривиальным моментом в доказательстве теоремы об элиминации кванторов.

• Шаблон:Якорь Теорема может рассматриваться как далеко идущее обобщение теоремы Штурма, в связи с чем фигурирует также как обобщённая теорема Штурма. При таком взгляде, теорема Штурма формулируется как наличие для любого многочлена $p(x,x_1,\dots ,x_n)$ бескванторной формулы $\psi (x_1,\dots ,x_n,a,b)$ такой, что из аксиом замкнутого вещественного поля следует эквивалентность:

$a<b\Rightarrow \psi (x_1,\dots ,x_n,a,b)\equiv \mathrm{\exists }x(a<x<b\wedge p(x,x_1,\dots ,x_n)=0)$;

формулировка же теоремы Зайденберга — Тарского в этом случае — переход от произвольной бескванторной формулы $\phi (x,x_1,\dots ,x_n)$, ограниченной квантором существования, к бескванторной формуле $\psi (x_1,\dots ,x_n,a,b)$:

$a<b\Rightarrow \psi (x_1,\dots ,x_n,a,b)\equiv \mathrm{\exists }x(a<x<b\wedge \phi (x,x_1,\dots ,x_n))$.

Притом если классическое доказательство теоремы Штурма существенно использует техники анализа (в частности, теорему об обращении в нуль непрерывной функции, меняющей знак), то математическая логика даёт сугубо алгебраическое доказательство факта.

Литература

• Шаблон:Книга