Теорема Каратеодори о выпуклой оболочке

Теорема Каратеодори о выпуклой оболочке утверждает, что для любой точки выпуклой оболочки подмножества евклидового пространства найдётся содержащий её невырожденный симплекс с вершинами в этом подмножестве.

Формулировка теоремы

Пусть $A$ — компакт в $m$-мерном евклидовом пространстве. Тогда любая точка $x$ в выпуклой оболочке $A$ является выпуклой комбинацией не более чем $m+1$ точек множества $A$Шаблон:Sfn. То есть

$\mathrm{Conv}A=\{x\in {ℝ}^m:x=\sum _{i=1}^{m+1}{\lambda }_i{x}_i,x_i\in A,{\lambda }_i⩾0,\sum _{i=1}^{m+1}{\lambda }_i=1,i=1,2,\dots ,m+1\}$

Связанные результаты

• В случае, когда одна из координат точки $x\in \mathrm{Conv}A$ достигает экстремального значения (для множества A), эта точка может быть представлена как выпуклая комбинация не более чем m точек AШаблон:Sfn.

• С теоремой Каратеодори о выпуклой оболочке связана также теорема ХеллиШаблон:Sfn.

• Выпуклая оболочка компактного множества компактна. Это утверждение также иногда называется теоремой Каратеодори.

Литература

• Шаблон:Книга