Теорема Каратеодори — Тёплица

Теорема Каратеодори — Тёплица — теорема математического анализа, названная в честь математиков Константина Каратеодори и Отто Тёплица:

Пусть $\mathrm{\Delta }:=\{z:|z|<1\}$ — единичный круг в комплексной плоскости $ℂ.$

Множество всех функций $h(z)$ с положительной в $\mathrm{\Delta }$ вещественной частью и нормировкой $h(0)=1,$ отображающих круг $\mathrm{\Delta }$ в правую полуплоскость называется классом Каратеодори и обозначается через $C.$

Каратеодори и Теплиц решили задачу точного описания множества значений системы коэффициентов $(\{h{\}}_1,\dots ,\{h{\}}_n),$ где $n\in \mathbb{N},$ на классе $C.$

Множество значений системы коэффициентов $(\{h{\}}_1,\dots ,\{h{\}}_n),$ $n\in \mathbb{N}$ на классе $C$ есть замкнутое выпуклое ограниченное множество $K_n$ точек $n$-мерного комплексного евклидова пространства ${ℂ}^n$ для которых определители

$\det \{a_{ij}{\}}_{i,j=0}^k,1⩽k⩽n,$

где

$a_{ii}=2,a_{ij}=\{h{\}}_{j-i},j>i,a_{ji}=\overline{a_{ij}},j<i,$

либо все положительны, либо положительны до какого-то номера, начиная с которого равны нулю. Последний случай отвечает принадлежности точки $(\{h{\}}_1,\dots ,\{h{\}}_n)$ границе $\partial K_n$ тела коэффициентов $K_n.$ Каждой граничной точке этого тела отвечает только одна функция класса $C,$ имеющая вид выпуклой линейной комбинации

$h^{(k)}(z)=\sum _{\nu =1}^k{\alpha }_{\nu }\frac{1+e^{i{\phi }_{\nu }}z}{1-e^{i{\phi }_{\nu }}z}$

с коэффициентами ${\alpha }_{\nu },$ причем $1⩽k⩽n$ и ${\phi }_{\nu }\ne {\phi }_{\mu }$ при $\mu \ne \nu ,$ $\mu ,\nu =1,\dots ,n.$

См. также

• Теорема Каратеодори — Фейера.

Литература

• Carathéodory C. Über die Variabilitätsbereich des Fourierschen Konstanten von Positiv Harmonischen Funktion Rendiconti Circ. Mat. di~Palermo. 1911. V.~32. P.~193—217.
• Töplitz O. Über die Fouriersche Entwicklung Positiver Funktionen Rendiconti. Circ. Mat. di~Palermo. 1911. V.~32. P.~191—192.