Теорема Каратеодори — Фейера

Теорема Каратеодори — Фейера:

Пусть

$P(z)=c_0+c_{1}z+\dots +c_{n-1}{z}^{n-1}$

многочлен, $P\equiv ̸0$. Существует единственная рациональная функция

$R(z)=R(z,c_0,c_1,\dots ,c_{n-1})$

вида

$R(z)=\lambda \frac{{\overline{\alpha }}_{n-1}+{\overline{\alpha }}_{n-2}z+\dots +{\overline{\alpha }}_0{z}^{n-1}}{{\alpha }_0+{\alpha }_{1}z+\dots +{\alpha }_{n-1}{z}^{n-1}},\lambda >0,$

регулярная в $\left|z\right|⩽1$ и имеющая в своём разложении в ряд Маклорена $n$ первых коэффициентов, равных соответственно $c_0,c_1,\dots ,c_{n-1}$. Эта функция, и только она, реализует наименьшее значение

$M_f=\underset{\left|z\right|<1}{sup}|f(z)|$

в классе всех регулярных в круге $\left|z\right|<1$ функций $f(z)$ вида

$f(z)=P(z)+a_n{z}^n+\dots ,$

и указанное наименьшее значение равно

$\lambda =\lambda (c_0,c_1,\dots ,c_{n-1})$

Число $\lambda (c_0,c_1,\dots ,c_{n-1})$ равно наибольшему положительному корню уравнения $2n$-й степени

$\left|\begin{array}{cccccccc}-\lambda & 0& \dots & 0& c_0& c_1& \dots & c_{n-1}\\ 0& -\lambda & \dots & 0& 0& c_0& \dots & c_{n-2}\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0& 0& \dots & -\lambda & 0& 0& \dots & c_0\\ \overline{c_0}& 0& \dots & 0& -\lambda & 0& \dots & 0\\ \overline{c_1}& \overline{c_0}& \dots & 0& 0& -\lambda & \dots & 0\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ {\overline{c}}_{n-1}& {\overline{c}}_{n-2}& \dots & {\overline{c}}_0& 0& 0& \dots & -\lambda \end{array}\right|$

Если $c_0,c_1,\dots ,c_{n-1}$ — действительные числа, то $\lambda (c_0,c_1,\dots ,c_{n-1})$ являются наибольшим из абсолютных значений корней уравнения $n$-й степени

$\left|\begin{array}{ccccc}-\lambda & 0& \dots & 0& c_0\\ 0& -\lambda & \dots & c_0& c_1\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ c_0& c_1& \dots & c_{n-2}& c_{n-1}-\lambda \end{array}\right|=0$

Литература

• Carathéodory C., Fejer L. Rend. Circolo mat. Palermo, — 1911, v. 32, p. 218—239.
• Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного, 2 изд., — Шаблон:М, 1966.