Теорема Лакса — Мильграма

Теорема Лакса — Мильграма — теорема функционального анализа имеющая широкое применение в численных методах, в частности при теоретическом обосновании метода конечных элементов.

Формулировка

Пусть

• $\mathscr{H}$ является гильбертовым пространством со скалярным произведением $⟨\cdot ,\cdot ⟩,$ и ассоциированной нормой $\Vert \cdot \Vert$
• $a(\cdot ,\cdot )$ является билинейной формой, которая:
  • непрерывна
  • коэрцитивна в $\mathscr{H}$ (иногда используется термин $\mathscr{H}$-эллиптичность); то есть, $\mathrm{\exists }\alpha >0,\mathrm{\forall }u\in \mathscr{H},a(u,u)\ge \alpha \Vert u{\Vert }^2$
• L является непрерывной линейной формой в $\mathscr{H}$.

Тогда существует единственный элемент $u\in \mathscr{H}$, такой, что равенство

$a(u,v)=L(v)$

выполняется для всех $v\in \mathscr{H}$:

Литература

• Шаблон:Книга

См. также

• Гильбертово пространство
• Теорема представлений Рисса