Теорема Лапласа

Теоре́ма Лапла́са — одна из теорем линейной алгебры. Названа в честь французского математика Пьера-Симона Лапласа (1749 — 1827), которому приписывают формулирование этой теоремы в 1772 году, хотя частный случай этой теоремы о разложении определителя по строке (столбцу) был известен ещё Лейбницу.

Формулировка

Для начала введём несколько определений.

Пусть $A=(a_{ij})$ — матрица размера $n\times n$, и пусть выбраны любые $k$ строк матрицы $A$ с номерами $i_1<i_2<\dots <i_k$ и любые $k$ столбцов с номерами $j_1<j_2<\dots <j_k$.

Определитель матрицы, получаемой из $A$ вычеркиванием всех строк и столбцов, кроме выбранных, называется минором $k$-го порядка, расположенным в строках с номерами $i_1,i_2,\dots ,i_k$ и столбцах с номерами $j_1,j_2,\dots ,j_k$. Он обозначается следующим образом:

$M_{j_1,\dots ,j_k}^{i_1,\dots ,i_k}=\det \left(\begin{array}{cccc}{a}_{i_1{j}_1}& a_{i_1{j}_2}& \dots & a_{i_1{j}_k}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{i_k{j}_1}& a_{i_k{j}_2}& \dots & a_{i_k{j}_k}\end{array}\right).$

А определитель матрицы, получаемой вычеркиванием только выбранных строк и столбцов из квадратной матрицы, называется дополнительным минором к минору $M_{j_1,\dots ,j_k}^{i_1,\dots ,i_k}$:

${\bar{M}}_{j_1,\dots ,j_k}^{i_1,\dots ,i_k}=\det \left(\begin{array}{cccc}{a}_{i_{k+1}{j}_{k+1}}& a_{i_{k+1}{j}_{k+2}}& \dots & a_{i_{k+1}{j}_n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{i_n{j}_{k+1}}& a_{i_n{j}_{k+2}}& \dots & a_{i_n{j}_n}\end{array}\right),$

где $i_{k+1}<\dots <i_n$ и $j_{k+1}<\dots <j_n$ — номера невыбранных строк и столбцов.

Алгебраическое дополнение минора $M_{j_1,\dots ,j_k}^{i_1,\dots ,i_k}$ определяется следующим образом:

$A_{j_1,\dots ,j_k}^{i_1,\dots ,i_k}=(-1{)}^{p+q}{\bar{M}}_{j_1,\dots ,j_k}^{i_1,\dots ,i_k}$

где $p=i_1+\dots +i_k$, $q=j_1+\dots +j_k$.

Справедливо следующее утверждение. Шаблон:Теорема Число миноров, по которым берётся сумма в теореме Лапласа, равно числу способов выбрать $k$ столбцов из $n$, то есть биномиальному коэффициенту $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$.

Так как строки и столбцы матрицы равносильны относительно свойств определителя, теорему Лапласа можно сформулировать и для столбцов матрицы.

Разложение определителя по строке (столбцу) (Следствие 1)

Широко известен частный случай теоремы Лапласа — разложение определителя по строке или столбцу. Он позволяет представить определитель квадратной матрицы в виде суммы произведений элементов любой её строки или столбца на их алгебраические дополнения.

Пусть $A=(a_{ij})$ — квадратная матрица размера $n\times n$. Пусть также задан некоторый номер строки $i$ либо номер столбца $j$ матрицы $A$. Тогда определитель $A$ может быть вычислен по следующим формулам: Шаблон:Теорема где $A_{ij}$ — алгебраическое дополнение к минору, расположенному в строке с номером $i$ и столбце с номером $j$. $A_{ij}$ также называют алгебраическим дополнением к элементу $a_{ij}$.

Утверждение является частным случаем теоремы Лапласа. Достаточно в ней положить $k$ равным 1 и выбрать $i$-ую строку, тогда минорами, расположенными в этой строке будут сами элементы.

Следствие 2 (фальшивое разложение определителя)

Сумма произведений всех элементов некоторой строки (столбца) матрицы $A$ на алгебраические дополнения соответствующих элементов любой другой строки (столбца) равна нулю.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга