Теорема Лежандра

Теорема Лежандра — утверждение об условиях существования решений для некоторого подкласса квадратичных диофантовых уравнений, установленное Лежандром в 1785 году.

Формулировка

Уравнение

$a{X}^2+b{Y}^2+c{Z}^2=0,$

у которого не все коэффициенты одного знака и $a,b,c$ — попарно взаимно простые числа, имеет нетривиальное решение в целых числах $(X,Y,Z)$ тогда и только тогда, когда:

• $-ab$ — квадратичный вычет по модулю $c$,
• $-bc$ — квадратичный вычет по модулю $a$,
• $-ca$ — квадратичный вычет по модулю $b$.

О доказательстве

Необходимость этих условий очевидна, достаточность следует из теоремы Минковского — Хассе для квадратичных форм: квадратичная форма представляет нуль в $\mathbb{Q}$ тогда и только тогда, когда она представляет нуль в $ℝ$ и во всех полях $p$-адических чисел ${\mathbb{Q}}_p$. Для разрешимости в $ℝ$ нужны разные знаки, для разрешимости в ${\mathbb{Q}}_p$ для $p\mid abc$ — вышеприведённые симметричные соотношения.

Литература

• Шаблон:Книга