Теорема Мори

Теорема Мори (Шаблон:Lang-en) — это случайное название следующего тригонометрического тождества

$\cos (20^{\circ })\cdot \cos (40^{\circ })\cdot \cos (80^{\circ })=\frac{1}{8}.$

Это частный случай более общего тождества

$2^n\cdot \prod _{k=0}^{n-1}\cos (2^k\alpha )=\frac{\sin (2^n\alpha )}{\sin (\alpha )}$

при n = 3 и α = 20°. «Теорема Мори» получила своё название благодаря Ричарду Фейнману, который использовал это тождество именно под этим именем. Фейнман употреблял это название потому, что в детстве он узнал указанное тождество от мальчика по имени Мори Якобс и впоследствии запомнил теорему на всю жизнь именно под этим именем.

Подобное соотношение для синуса также имеет место:

$\sin (20^{\circ })\cdot \sin (40^{\circ })\cdot \sin (80^{\circ })=\frac{\sqrt{3}}{8}$.

Более того, разделив второе тождество на первое, получим тождество для тангенса:

$\mathrm{tg}(20^{\circ })\cdot \mathrm{tg}(40^{\circ })\cdot \mathrm{tg}(80^{\circ })=\sqrt{3}=\mathrm{tg}(60^{\circ }).$

Доказательство

Используем известную формулу для синуса двойного угла

$\sin (2\alpha )=2\sin (\alpha )\cos (\alpha ).$

Выразив отсюда $\cos (\alpha )$, получим

$\cos (\alpha )=\frac{\sin (2\alpha )}{2\sin (\alpha )}.$

Тогда имеем

$\begin{array}{cc}\cos (2\alpha )& =\frac{\sin (4\alpha )}{2\sin (2\alpha )}\\ \cos (4\alpha )& =\frac{\sin (8\alpha )}{2\sin (4\alpha )}\\ & ⋮\\ \cos (2^{n-1}\alpha )& =\frac{\sin (2^n\alpha )}{2\sin (2^{n-1}\alpha )}.\end{array}$

Перемножая соответственно левые части этих равенств друг на друга, и правые части - друг на друга, получаем:

$\cos (\alpha )\cos (2\alpha )\cos (4\alpha )\cdots \cos (2^{n-1}\alpha )=\frac{\sin (2\alpha )}{2\sin (\alpha )}\cdot \frac{\sin (4\alpha )}{2\sin (2\alpha )}\cdot \frac{\sin (8\alpha )}{2\sin (4\alpha )}\cdots \frac{\sin (2^n\alpha )}{2\sin (2^{n-1}\alpha )}.$

После сокращения дробей останется синус из последнего числителя и синус из первого знаменателя, а также 2 в степени n в знаменателе:

$\prod _{k=0}^{n-1}\cos (2^k\alpha )=\frac{\sin (2^n\alpha )}{2^n\sin (\alpha )},$

Это тождество представляет собой общую форму записи теоремы Мори.

Ссылки

• Шаблон:MathWorld