Теорема Мура — Пенроуза о псевдообратной матрице

Теорема Мура — Пенроуза о псевдообратной матрице — утверждение о существовании единственной псевдообратной матрицы для любой матрицы. Доказано независимо Элиакимом Муром в 1920 году и Роджером Пенроузом в 1955 году.

Доказательство утверждения содержит конструктивную процедуру получения такой матрицы. Так, если для данной матрицы $A$ её ранг $\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}A=r$, то $A$ можно представить в виде произведения матриц $C$ и $D$ размера $m\times r$ и $r\times n$ соответственно, при этом $ImA=ImC$ и $Im{A}^{\ast }=Im{D}^{\ast }$. Очевидно,Шаблон:Уточнить что матрицы $C^{\ast }C$ и $D{D}^{\ast }$ — невырожденные. Положив $X=D^{\ast }(D{D}^{\ast }{)}^{-1}(C^{\ast }C{)}^{-1}{C}^{\ast }$, имеет место $AX=C(C^{\ast }C{)}^{-1}{C}^{\ast }$ и $XA=D^{\ast }(D{D}^{\ast }{)}^{-1}D$, то есть матрицы $AX$ и $XA$ являются эрмитовыми проекторами на $ImC=ImA$ и $Im{D}^{\ast }=Im{A}^{\ast }$ соответственно. Следовательно, $X$ — псевдообратная матрица для матрицы $A$. Единственность построенной таким образом матрицы показывается следующим образом: если $X_1$ и $X_2$ — псевдообратные матрицы для матрицы $A$, то $A{X}_1$ и $A{X}_2$ — эрмитовы проекторы на $ImA$, поэтому $A{X}_1=A{X}_2$; аналогично, $X_{1}A=X_{2}A$, и следовательно $X_1=X_1(A{X}_2)=(X_{1}A)X_2=X_{2}A{X}_2=X_2$Шаблон:Sfn.

Литература

• Шаблон:Книга