Теорема Мюнтца — Саса

Теорема Мюнтца — Саса — утверждение о достаточном условии равномерной аппроксимации произвольной непрерывной функции степенными полиномами и достаточном условии её невозможности. Была доказана Мюнтцем в 1914 г. и Сасом в 1916 г. Играет важную роль в функциональном анализе.

Равномерная аппроксимация функции

Говорят, что функцию $f(x)$ можно равномерно аппроксимировать полиномами $a_k{x}^{{\lambda }_k}$ на интервале $(a,b)$ с точностью $ϵ$, если $\underset{a⩽x⩽b}{\max }|f(x)-\sum _1^n{a}_k{x}^{{\lambda }_k}|<ϵ$.

Формулировка

Пусть ${\lambda }_n$ - множество комплексных чисел с положительной вещественной частью. Произвольную непрерывную функцию можно равномерно аппроксимировать на интервале $(0,1)$ полиномами $C+\sum a_n{x}_n^{\lambda }$, если

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{Re{\lambda }_n}{1+|{\lambda }_n^2|}=\mathrm{\infty }$.

Такая аппроксимация всякой непрерывной функции невозможна, если

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1+Re{\lambda }_n}{1+|{\lambda }_n^2|}<\mathrm{\infty }$.

См. также

• Теорема Саса