Теорема Саса

Теорема Саса — утверждение о необходимых и достаточных условиях замкнутости класса степенных функций. Была доказана Сасом в 1916 году. Играет важную роль в функциональном анализе.

Замкнутое множество функций

Множество функций $\{f_n(x)\}$ называется замкнутым на интервале $(a,b)$, если из условия $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)f_n(x)dx=0,n=1,2,...$ следует, что $f(x)$ обращается в нуль всюду, кроме множества меры нуль, если только $f(x)\in L^2$, то есть её квадрат модуля интегрируем.

Формулировка

Пусть ${\lambda }_n$ - множество комплексных чисел с вещественными частями, превосходящими $-\frac{1}{2}$. Для того, чтобы множество степенных функций $\left\{x^{{\lambda }_n}\right\}$ было замкнуто в $L^2$ на интервале $(0,1)$ необходимо и достаточно, чтобы $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1+2Re{\lambda }_n}{1+|{\lambda }_n^2|}=\mathrm{\infty }$.

См. также

• Lp (пространство)
• Теорема Мюнтца-Саса