Теорема О’Нэна — Скотта

Теорема О'Нэна – Скотта — это одна из наиболее влиятельных теорем теории групп перестановок. Столь полезной эту теорему делает классификация простых конечных групп. В исходном виде теорема была о Шаблон:Не переведено 5 симметрической группы. Она появилась как дополнение к статье Леонарда Скотта, написанной для конференции в Санта-Круз по конечным группам в 1979 со сноской, что Майкл О'Нэн независимо доказал тот же результат.

Теорема утверждает, что максимальная подгруппа симметрической группы $S y m (Ω)$ , где $| Ω | = n$ , является одной из следующих:

$S_{k} \times S_{n - k}$ стабилизатор k-множества (то есть интранзитивна)
S_a Шаблон:Не переведено 5 S_b с n = ab, стабилизатор разбиения на b частей размера a (то есть импримитивна)
примитивная (то есть не сохраняет нетривиальное разбиение) и одна из следующих типов:

AGL(d,p)
S_l wr S_k, стабилизатор структуры произведения $Ω = Δ^{k}$
группа диагонального типа
почти простая группа

В статье «О теореме О'Нэна – Скотта для примитивных групп перестановок» М.У. Либек, Шерил Прегер и Ян Саксл дают полное замкнутое доказательство теоремыШаблон:Sfn. В дополнение к доказательству они выявили, что истинная сила теоремы О'Нэна – Скотта заключается в возможности разбить конечные примитивные группы на различные типы.

Типы О'Нэна – Скотта

Восемь типов О'Нэна – Скотта конечных примитивных групп перестановок следующие:

HA (голоморф абелевой группы): Это примитивные группы, которые являются подгруппами конечной аффинной полной линейной группы AGL(d,p) для некоторого простого p и положительного целого $d ⩾ 1$ . Для такой группы G, если она примитивна, она должна содержать подгруппу всех переносов, и стабилизатор G₀ группы G нулевого вектора должен быть неприводимой подгруппой группы GL(d,p). Примитивные группы типа HA описываются наличием единственной минимальной нормальной подгруппы, которая является элементарно абелевой и действует регулярно.

HS (голоморф простой группы): Пусть T — конечная неабелева простая группа. Тогда $M = T \times T$ действует на $Ω = T$ с помощью $t^{(t_{1}, t_{2})} = t_{1}^{- 1} t t_{2}$ . Теперь M имеет две минимальные нормальные подгруппы $N_{1}, N_{2}$ , каждая из которых изоморфна T и каждая действует регулярно на $Ω$ , одна с помощью правого умножения, а другая с помощью левого умножения. Действие группы M является примитивным и если мы возьмём $α = 1_{T}$ , мы получим $M_{α} = {(t, t) | t \in T}$ , которая включает Inn(T) из $Ω$ . Фактически любой автоморфизм группы T будет действовать на $Ω$ . Примитивная группа типа HS является тогда любой группой G, такой, что $M ≅ T . I n n (T) ⩽ G ⩽ T . A u t (T)$ . Все такие группы имеют N₁ и N₂ в качестве минимальных нормальных подгрупп.

HC (голоморф составной группы): Пусть T — неабелева простая группа и пусть $N_{1} ≅ N_{2} ≅ T^{k}$ для некоторого целого $k ⩾ 2$ . Пусть $Ω = T^{k}$ . Тогда $M = N_{1} \times N_{2}$ действует транзитивно на $Ω$ посредством $x^{(n_{1}, n_{2})} = n_{1}^{- 1} x n_{2}$ для всех $x \in Ω, n_{1} \in N_{1}, n_{2} \in N_{2}$ . Как и в случае HS, мы имеем $M ≅ T^{k} . I n n (T^{k})$ и любой автоморфизм группы $T^{k}$ действует на $Ω$ . Примитивная группа типа HC является группой G, такой, что $M ⩽ G^{″} ⩽ T^{k} . A u t (T^{k})$ и G порождает подгруппу $A u t (T^{k}) = A u t (T) wr S_{k}$ , которая действует транзитивно на множестве k простых прямых множителей $T^{k}$ . Любая такая G имеет две минимальные нормальные подгруппы, каждая изоморфна T^k и регулярна.

Группа типа HC сохраняет структуру произведения $Ω = Δ^{k}$ , где $Δ = T$ и $G ⩽ H wr S_{k}$ , где H является примитивной группой типа HS на $Δ$ .

TW (скрещённое сплетение): Здесь G имеет единственную минимальную нормальную подгруппу N и $N ≅ T^{k}$ для некоторой конечной неабелевой простой группы T и N действует регулярно на $Ω$ . Такие группы могут быть построены как скрещённое сплетение и потому обозначается буквами TW (от англ. twisted wreath). Условия, требующиеся для получения примитивности, подразумевают, что $k ⩾ 6$ , так что наименьшая степень таких примитивных групп равна 60⁶ .

AS (почти простая): Здесь G является группой, лежащей между T и Aut(T ), то есть G является почти простой группой, отсюда и обозначение (англ. almost simple). Мы ничего не говорим о действии, кроме того, что оно примитивное. Анализ этого типа требует знания о возможных примитивных действиях почти простых групп, что эквивалентно знанию максимальных подгрупп почти простых групп.

SD (простая диагональная): Пусть $N = T^{k}$ для некоторой неабелевой простой группы T и целое $k ⩾ 2$ и пусть $H = {(t, \dots, t) | t \in T} ⩽ N$ . Тогда N действует на множестве $Ω$ на правых классах смежности H в N по правому умножению. Мы можем взять ${(t_{1}, \dots, t_{k - 1}, 1) | t_{i} \in T}$ как множество представителей классов смежности для H в N и мы можем отождествить $Ω$ с $T^{k - 1}$ . Теперь $(s_{1}, \dots, s_{k}) \in N$ переводит класс смежности с представителями $(t_{1}, \dots, t_{k - 1}, 1)$ в класс смежности $H (t_{1} s_{1}, \dots, t_{k - 1} s_{k - 1}, s_{k}) = H (s_{k}^{- 1} t_{k} s_{1}, \dots, s_{k}^{- 1} t_{k - 1} s_{k - 1}, 1)$ . Группа S_k порождает автоморфизмы группы N путём перестановки элементов и оставляет неподвижной подгруппу H, а потому действует на множестве $Ω$ . Заметим также, что H действует на $Ω$ путём порождения Inn(T) и, фактически, любой автоморфизм $σ$ группы T действует на $Ω$ путём отображения классом смежности с представителями $(t_{1}, \dots, t_{k - 1}, 1)$ в класс смежности $(t_{1}^{σ}, \dots, t_{k - 1}^{σ}, 1)$ . Тогда мы берём группу W = N. $(O u t (T) \times S_{k}) ⩽ S y m (Ω)$ . Примитивная группа типа SD является группой $G ⩽ W$ , такой, что $N ⊲ G$ и G порождает примитивную подгруппу группы S_k на k простых прямых множителях N.

CD (составная диагональная): Здесь $Ω = Δ^{k}$ и $G ⩽ H wr S_{k}$ , где H является примитивной группой типа SD на $Δ$ с минимальной нормальной подгруппой T^l. Более того, $N = T^{k l}$ является минимальной нормальной подгруппой группы G и G порождает транзитивную подгруппу группы S_k.

PA (действие на произведения): Здесь $Ω = Δ^{k}$ и $G ⩽ H wr S_{k}$ , где H является примитивной почти простой группой с цоколем T. Тогда G имеет действие на произведения на $Ω$ . Более того, $N = T^{k} ⊲ G$ и G порождает транзитивную подгруппу группы S_k в её действии на k простых прямых множителя N.

Некоторые авторы используют другое деление на типы. Наиболее часто типы HS и SD рассматриваются как «диагональный тип», а типы HC, CD и PA рассматриваются как «тип, действующий на произведения»Шаблон:Sfn. Прегер позднее обобщила теорему О'Нэна – Скотта на квазипримитивные группы в статье «Теорема О'Нэна – Скотта для конечных квазипримитивных групп перестановок и приложения к 2-дуговым транзитивным графам»Шаблон:Sfn.