Теорема Пикара (дифференциальные уравнения)

Шаблон:Значения Теорема Пикара (теорема Пикара — Линделёфа, теорема Коши — Липшица) — основная теорема обыкновенных дифференциальных уравнений; приводит достаточные условия для существования и единственности решения обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка.

Формулировка

Пусть $y^{\prime }=f_t(y)$ — обыкновенное дифференциальное уравнение, где $y=y(t)\in {ℝ}^n$, $f_t(y)$ — векторное поле зависящее от параметра $t$. Если отображение $(t,y)\mapsto f_t(y)$ непрерывно и для любого фиксированного $t$, и отображение $y\mapsto f_t(y)$ — липшицево, то для любого $y_0$ существует $\epsilon >0$ такое, что на промежутке $[t_0-\epsilon ,t_0+\epsilon ]$ существует решение уравнения с начальными данными $y(0)=y_0$.

Замечания

• Верна также локальная версия теоремы.

О доказательстве

Обычно в доказательстве применяется теорема Банаха о неподвижной точке к интегральной формы уравнения:

$y(t)-y(t_0)=\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}f(s,y(s))ds$

Вариации и обобщения

• Теорема Осгуда о единственности решения обыкновенного дифференциального уравнения

Ссылки

• Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.:МЦНМО, 2018—344 с.
• Шаблон:Cite journal (В этой публикации Э. Линделёф обсуждает обобщение подхода, предложенного ранее Э. Пикаром.)