Теорема Риса — Торина

Теорема Риса — Торина — утверждение о свойствах интерполяционных пространств. Была сформулирована в 1926 году Марселем Рисом, и в операторной форме сформулирована и доказана Шаблон:Iw в 1939 году.

Согласно теореме, для двух пространств $({\mathrm{\Omega }}_1,{\mathrm{\Sigma }}_1,{\mu }_1)$ и $({\mathrm{\Omega }}_2,{\mathrm{\Sigma }}_2,{\mu }_2)$ с мерами ${\mu }_1$ и ${\mu }_2$ соответственно и двух банаховых пространств комплекснозначных функций $L_p({\mathrm{\Omega }}_i)$, суммируемых с $p$-й степенью $(p⩾1)$ по мерам ${\mu }_i$ $(i=1,2)$, тройка банаховых пространств $(L_{p_0}({\mathrm{\Omega }}_1),L_{p_1}({\mathrm{\Omega }}_1),L_p({\mathrm{\Omega }}_1))$ является нормально интерполяционной типа $\alpha$ относительно тройки $(L_{q_0}({\mathrm{\Omega }}_2),L_{q_1}({\mathrm{\Omega }}_2),L_q({\mathrm{\Omega }}_1))$, если:

$\frac{1}{p}=\frac{1-\alpha }{p_0}+\frac{\alpha }{p_1}$ и $\frac{1}{q}=\frac{1-\alpha }{q_0}+\frac{\alpha }{q_1}$,

где $0⩽\alpha ⩽1$Шаблон:Sfn. (Тройка банаховых пространств $(A,B,E)$ является интерполяционной типа $\alpha$, где $0⩽\alpha ⩽1$, относительно тройки $(C,D,F)$, если она интерполяционна и выполнено неравенство $\Vert T{\Vert }_{E\to F}⩽c\Vert T{\Vert }_{A\to C}^{1-\alpha }\Vert T{\Vert }_{B\to D}^{\alpha }$Шаблон:Sfn.)

Доказательство теоремы использует теорему о трёх прямых из теории аналитических функций.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга