Теорема Флоке

Теорема Флоке, в русскоязычной литературе также иногда Теорема Флоке-Ляпунова — теорема о решении системы дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Теорема Флоке описывает структуру фундаментальных матриц линейных систем с непрерывными периодическими коэффициентами и вводит некоторые числовые характеристики таких систем, аналогичные по своим свойствам корням характеристического уравнения систем с постоянными коэффициентами. Доказана Гастоном Флоке в 1881-1883 годах. Её развитием является теорема Блоха.

Формулировка

Система уравнений вида

$\dot{x}(t)=A(t)x(t)$

с периодическими коэффициентами вида

$A(t+tau)=A(t)$

имеет решение в виде

$x(t)=F(t)exp(t,K)$

где $F(t)$ — некая периодическая матрица, $K$ — некая постоянная матрица той же размерности, что и исходная матрица коэффициентов $A(t)$. При этом матрица K не явялется единственной, и обе матрицы $F(t)$ и K могут быть мнимыми даже в случае вещественных исходных матриц.

Применение

Теорема Флоке нашла применение в области физики твёрдого тела и в теории фазированных антенных решеток.

См. также

• Инженерия Флоке

Литература

• Математическая энциклопедия
• Лерман Л.М. Линейные дифференциальные уравнения и системы. Электронное учебно-методическое пособие. Нижний Новгород, 2012.
• Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970. — 719 с.