Теорема Харкорта

Теорема Харкорта

Теорема Харкорта — это формула в геометрии для площади треугольника как функции длин сторон и расстояний от вершин треугольника до произвольной прямой, касательной к вписанной в треугольник окружностиШаблон:Sfn.

Теорема названа именем Дж. Харкорта, ирландского профессораШаблон:Sfn.

Утверждение

Пусть треугольник задан своими вершинами A, B и C, противоположные вершинам стороны имеют длины a, b и c, площадь равна K и прямая касается вписанной в треугольник окружности в произвольной точке. Обозначим расстояния от вершин треугольника до прямой через a ', b ' и c ', при этом, если вершина и центр окружности лежат по разные стороны от прямой, расстояние считается отрицательным. Тогда

$a{a}^{\prime }+b{b}^{\prime }+c{c}^{\prime }=2K.$

Вырожденный случай

Если касательная прямая содержит одну из сторон треугольника, то два расстояния равны нулю и формула упрощается до формулы треугольника — удвоенная площадь равна произведению основания на высоту.

Обобщение

• Если прямая касается вневписанной окружности противоположной, скажем, вершине A треугольника, тоШаблон:Sfn

$-a{a}^{\prime }+b{b}^{\prime }+c{c}^{\prime }=2K.$

• Если на касательную к кругу радиуса x, концентрическому с вписанным кругом, опустить из вершин треугольника перпендикуляры $d_A,d_B,d_C$, то .

$a{d}_A+b{d}_B+c{d}_C=2px$.

• В частности, если x=r, где r -радиус вписанного круга, то мы имеем теорему Харкорта.

Свойство двойственности

Если a', b', c' вместо расстояния до произвольной касательной к вписанной окружности обозначают расстояния от сторон до произвольной точки, равенство

$a{a}^{\prime }+b{b}^{\prime }+c{c}^{\prime }=2K$

остаётся вернымШаблон:Sfn.

Литература

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга