Теорема Эйлера о треугольнике

Формула Эйлера — теорема планиметрии, связывает расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей и их радиусами.

Теорема названа в честь Леонарда Эйлера, который опубликовал её в 1765 году. Однако тот же результат был получен ранее Шаблон:Не переведено 5 в 1746 году.

Объяснение

Расстояние $d$ между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника может быть определено по формуле

$d^2=R^2-2Rr.$

где $R$ — радиус описанной, $r$ — радиус вписанной окружности.

В 1969 году Георгий Александров дал развернутую формулу:

$d^2=\frac{abc}{a+b+c}[\frac{abc}{(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}-1]$

где $a,b,c$ — стороны треугольника.

Замечания

• Приведённую формулу можно переписать следующим образом

  $\frac{1}{R-d}+\frac{1}{R+d}=\frac{1}{r}$.

или

$(R-r{)}^2=d^2+r^2,$

• Из теоремы следует так называемое неравенство Эйлера

  $R\ge 2r$.

  • Существует более сильная форма этого неравенстваШаблон:Rp, а именно:

    $\frac{R}{r}\ge \frac{abc+a^3+b^3+c^3}{2abc}\ge \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}-1\ge \frac{2}{3}(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})\ge 2,$

где $a,b,c$ — стороны треугольника.

• Для сферического треугольника отношение радиуса описанной окружности к радиусу вписанной может быть меньше 2. Более того, для любого числа между 1 и 2 существует правильный сферический треугольник с отношением радиуса описанной к радиусу вписанной окружности, равным этому числу.

Вариации и обобщения

Для центра вневписанной окружности

Для вневписанных окружностей уравнение выглядит похоже:

$(R+r_{out}{)}^2=d_{out}^2+r_{out}^2,$

где $r_{out}$ — радиус одной из вневписанных окружностей, а $d_{out}$ — расстояние от центра описанной окружности до центра этой вневписанной окружности.

Для многоугольников

Во вписанно-описанном четырёхугольнике ABCD с центрами вписанной и вписанной окружностей соответственно I и О.

• Для радиусов $R$ и $r$ соответственно описанной и вписанной окружностей данного вписанно-описанного четырёхугольника (см. рис.) и расстояния $d=x$ между центрами этих окружностей выполняется соотношение:

  $\frac{1}{(R+d{)}^2}+\frac{1}{(R-d{)}^2}=\frac{1}{r^2}$,

или эквивалентно,

$d^2=R^2+r^2-r\sqrt{4R^2+r^2}$

• Это соотношение называют Шаблон:Iw. Оно получено Николаем Ивановичем Фуссом в 1792 году.

• Теорема Кэли о цепи Понселе обобщает теорему Эйлера на вписанно-описанные $n$-угольники.

См. также

• Поризм Понселе

Ссылки

• Шаблон:Mathworld