Поризм Понселе

Поризм Понселе — классическая теорема проективной геометрии. Назван в честь Жан-Виктора Понселе.

История

Поризм Понселе был открыт французским математиком Жан-Виктором Понселе в 1812—1814 годах, когда он находился в плену в Саратове. В саратовском плену он написал (в основном) свой трактат о проективных свойствах фигур, а также трактат по аналитической геометрии (семь тетрадей, изданных впоследствии — в 1862—1864 годах — под заглавием «Шаблон:Lang-fr2»).

Частный случай для треугольника можно вывести из теоремы Эйлера.

Формулировка

Пусть $A_1{A}_2\dots A_n$ — многоугольник с $n$ различными вершинами, вписанный в конику $C$ и описанный около другой коники $\mathrm{\Gamma }$. Тогда для любых точек $B_1,B_2$ коники $C$, таких, что $B_1\ne B_2$ и $B_1{B}_2$ касается $\mathrm{\Gamma }$, существует многоугольник $B_1{B}_2\dots B_n$, вписанный в $C$ и описанный около $\mathrm{\Gamma }$.

Замечания

• Если коника является окружностью, многоугольники, которые вписаны в один круг и описанные около другого называются бицентрическими многоугольниками. Подробнее — в Шаблон:Rp.

Вариации и обобщения

Теорема Кэли

Пусть $f$ — окружность $x^2+y^2=1$, а $g$ — эллипс $a{x}^2+b{y}^2=1$. Тогда условие на зацикливание цепи задаётся в терминах ряда Тейлора функции $\sqrt{(a^2+t)(b^2+t)(1+t)}=c_0+c_{1}t+c_2{t}^2+\dots$. (Каждый коэффициент $c_i$ вычисляется через $a$ и $b$, например, $c_0=ab$.) А именно:

1. Цепь Понселе пары $f$ и $g$ зацикливается за $2m+1$ шагов тогда и только тогда, когда

   $\left|\begin{array}{ccc}{c}_2& \dots & c_{m+1}\\ ⋮& & ⋮\\ c_{m+1}& \dots & c_{2m}\end{array}\right|=0.$

2. Цепь Понселе пары $f$ и $g$ зацикливается за $2m$ шагов тогда и только тогда, когда

   $\left|\begin{array}{ccc}{c}_3& \dots & c_{m+1}\\ ⋮& & ⋮\\ c_{m+1}& \dots & c_{2m-1}\end{array}\right|=0.$

Теорема Шварца

Пусть $A_0{A}_1\dots$ — цепь Понселе. Обозначим через ${\ell }_i$ прямую $A_i{A}_{i+1}$ и рассмотрим точки пересечения $B_{i,j}={\ell }_i\cap {\ell }_j$. Тогда для любого целого $k$

1. Все точки $B_{i,i+k}$ лежат на одном коническом сечении.
2. Все точки $B_{i,k-i}$ лежат на одном коническом сечении.

Многомерный аналог

Алгебраическое доказательство теоремы Понселе опирается на тот факт, что пересечение двух квадрик в трёхмерном проективном пространстве — это эллиптическая кривая. В 1972 году Майлз Рид в своей диссертации доказал обобщение этого факта. Именно, теорема Рида утверждает, что многообразие, параметризующее линейные $(n-1)$-мерные подпространства в $(2n+1)$-мерном проективном пространстве, лежащие на пересечении двух $2n$-мерных квадрик (при условии, что это пересечение неособо), есть якобиево многообразие некоторой гиперэллиптической кривой (разветвлённого двойного накрытия рациональной кривой). Эту гиперэллиптическую кривую можно построить как геометрическое место $(n-1)$-мерных подпространств на пересечении двух квадрик, которые пересекают некоторое фиксированное $(n-1)$-мерное подпространство, также лежащее на пересечении квадрик, по подпространству размерности не менее $n-2$. Если эти квадрики приведены к главным осям (то есть имеют однородные уравнения

$z_0^2+z_1^2+\dots +z_{2n+1}^2=0,$

$b_0{z}_0^2+b_1{z}_1^2+\dots +b_{2n+1}{z}_{2n+1}^2=0$

для некоторых коэффициентов $b_0,b_1,\dots b_{2n+1}$), то эта кривая бирационально изоморфна кривой, заданной уравнением

$y^2=(x-b_0)(x-b_1)\dots (x-b_{2n+1}).$

Донаги заметил, что закон сложения на таком многообразии можно определять геометрически. Именно, если $Q$ — какая-то квадрика из пучка, порождённого нашими двумя квадриками (обозначим их за $Q_1$ и $Q_2$), $E_1$ и $E_2$ — два $n$-мерных подпространства, лежащих на $Q$ и относящихся к одному и тому же связному семейству, и $E_i$ высекает на пересечении двух квадрик два $(n-1)$-мерных подпространства ${\ell }_{i1}$ и ${\ell }_{i2}$, то сложение однозначно определяется правилом ${\ell }_{11}+{\ell }_{12}={\ell }_{21}+{\ell }_{22}$ (и выбором нуля). К примеру, если $n=1$, то сложение точек на эллиптической кривой определяется следующим образом. Выберем точку $O$ в качестве нуля. Для того, чтобы сложить точки $A$ и $B$, проведём прямую $AB$, и рассмотрим квадрику из пучка, на которой эта прямая лежит (такая квадрика единственна и может быть построена, например, как объединение секущих прямой $AB$, дважды пересекающих эллиптическую кривую). Прямая $AB$, будучи образующей двумерной квадрики, принадлежит к однопараметрическому связному семейству. Выберем из этого семейства прямую $p$, проходящую через точку $O$. Вторая точка пересечения прямой $p$ с эллиптической кривой и будет суммой искомой суммой $A+B$.

См. также

• Поризм Штейнера — похожее утверждения для цепей окружностей.
• Теорема Эйлера (планиметрия) позволяет доказать частный случай поризма Понселе для $n=3$.

Литература

• Bos, H. J. M.; Kers, C.; Oort, F.; Raven, D. W. Poncelet’s closure theorem. Expositiones Mathematicae 5 (1987), no. 4, 289—364.
• И. Д. Жижилкин, "Инверсия", издательство МЦНМО (2009).

Ссылки

• Жижилкин, "Инверсия"

• Живой чертёж.

• Марсель Берже. Геометрия: Пер. с французского. — М.: Мир, 1984. — т. 2, 16.6, с. 140—148.

• Шаблон:Книга
• В. В. Прасолов. Доказательство теоремы Понселе по Дарбу Шаблон:Wayback, Матем. просв., сер. 3, 5, МЦНМО, М., 2001, 140—144.
• Г. Б. Шабат. Вокруг Понселе Шаблон:Wayback, Летняя школа «Современная математика», 2014 г. Дубна.