Теорема монотонности Александрова

Теорема монотонности Александрова — теорема о выпуклых многогранниках, доказанная А. Д. Александровым в 1937 году,,.

Формулировки

Прямая

Если между гранями двух замкнутых выпуклых многогранников в трёхмерном евклидовом пространстве установлено взаимно-однозначное соответствие так, что (i) единичные нормали к соответствующим граням совпадают и (ii) ни одну из граней нельзя поместить внутри соответствующей ей грани параллельным переносом, то многогранники получаются один из другого параллельным переносом (и, в частности, они конгруэнтны).

Через монотонные функции

Функция $f(Q)$ называется монотонной функцией многоугольника $Q$, если она обладает свойством: $f(Q_1)>f(Q_2)$, если $Q_2$ можно поместить внутри $Q_1$.

Пусть $P_1$ и $P_2$ — замкнутые выпуклые многогранники в трёхмерном евклидовом пространстве с гранями $Q_1^1,\dots ,Q_1^n$ и $Q_2^1,\dots ,Q_2^n$ соответственно, причём для любого $k=1,\dots ,n$ выполнены условия: (i) единичные нормали к граням $Q_1^k$ и $Q_2^k$ совпадают и (ii) существует монотонная функция $f_k$ такая, что $f_k(Q_1^k)=f_k(Q_2^k)$. Тогда многогранники $P_1$ и $P_2$ получаются один из другого параллельным переносом (и, в частности, они конгруэнтны).

Замечания

• Для трёхмерного пространства теорема Александрова о выпуклых многогранниках обобщает теорему единственности Минковского, утверждающую, что «два равных многогранника с попарно параллельными и равновеликими гранями равны и параллельно расположены». В самом деле, в качестве монотонной функции многоугольника $f(Q)$ здесь достаточно взять площадь.
• Утверждение, получающееся из теоремы Александрова о выпуклых многогранниках, если в ней в качестве монотонной функции многоугольника $f(Q)$ взять периметр, интересно в тем, что уже более 70 лет геометры не могут найти соответствующей теоремы существования.
• В евклидовом пространстве размерности 2 утверждение, аналогичное теореме Александрова о выпуклых многогранниках, верно, но тривиально.
• В евклидовом пространстве размерности 4 (и во всех более высоких размерностях) утверждение, аналогичное теореме Александрова о выпуклых многогранниках, неверно. В качестве контрпримера можно взять четырёхмерный куб с ребром 2 и четырёхмерный прямоугольный параллелепипед с рёбрами 1, 1, 3, 3.
• О равенстве многомерных выпуклых многогранников при невмещаемости их параллельных двумерных граней, см .

См. также

• Теорема Александрова о развёртке многогранника