Теорема о повороте плоской кривой

Теорема о повороте плоской кривой — дифференциально геометрический вариант теоремы о сумме углов многоугольника; частный случай формулы Гаусса — Бонне. Одно из доказательств принадлежит Хайнцу Хопфу, в честь которого эта теорема иногда называется.

Формулировка

Полный поворот (то есть интеграл ориентированной кривизны) простой плоской замкнутой гладкой регулярной кривой равен $\pm 2\cdot \pi$. Причём он равен $+2\cdot \pi$, если ограниченная область лежит слева от кривой и $-2\cdot \pi$ в противоположном случае.

Вариации и обобщения

• Теорема Фенхеля о повороте кривой

Замечания

Интеграл ориентированной кривизны плоской замкнутой гладкой регулярной кривой всегда кратен $2\cdot \pi$. По теореме любая такая кривая с интегралом ориентированной кривизны, отличным от $\pm 2\cdot \pi$ должна иметь самопересечения.

Литература

• Шаблон:Книга