Теорема о примитивном элементе

Теорема о примитивном элементе — это результат в теории полей, описывающий условия, при которых конечное расширение поля является простым. Более подробно, теорема о примитивном элементе характеризует расширения конечной степени $E\supseteq F$, такие что существует примитивный элемент $\alpha \in E$ с $E=F[\alpha ]=F(\alpha )$.

Терминология

Пусть $E\supseteq F$ — произвольное расширение поля. Элемент $\alpha \in E$ называется примитивным элементом для расширения $E\supseteq F$, если

$E=F(\alpha ).$

Расширения, для которых существует хотя бы один примитивный элемент, называются простыми расширениями. Любой элемент $x\in E$ простого расширения можно записать в виде

$x=\frac{f_{n-1}{\alpha }^{n-1}+\cdots +f_1\alpha +f_0}{g_{k-1}{\alpha }^{k-1}+\cdots +g_1\alpha +g_0}$ где $f_i,g_i\in F,\alpha \in E$

Если же, кроме того $E\supseteq F$ сепарабельно и имеет степень n, существует $\alpha \in E$, такое что множество

$\{1,\alpha ,\cdots ,{\alpha }^{n-1}\}$

образует базис E как векторного пространства над F.

Формулировка

Следующая формулировка теоремы принадлежит Эмилю Артину:

Теорема. Пусть $E\supseteq F$ — конечное расширение поля. Тогда $E=F(\alpha )$ для некоторого $\alpha \in E$ тогда и только тогда, когда число промежуточных полей K вида $E\supseteq K\supseteq F$ конечно.

Из этого утверждения следует более традиционная формулировка теоремы о примитивном элементе:

Следствие. Пусть $E\supseteq F$ — конечное сепарабельное расширение. Тогда $E=F(\alpha )$ для некоторого $\alpha \in E$.

Это следствие можно немедленно применить к произвольным алгебраическим числовым полям, так как поле $\mathbb{Q}$ имеет характеристику 0, следовательно, любое его расширение сепарабельно.

Пример

Далеко не очевидно, что если добавить в $\mathbb{Q}$ корни многочленов $x^2-2$ и $x^2-3$, получив поле $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$ степени 4 над $\mathbb{Q}$, то существует элемент $\gamma \in \mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$, через степени которого выражаются как $\sqrt{2}$, так и $\sqrt{3}$. Оказывается, однако, что этому условию удовлетворяет

$\gamma =\sqrt{2}+\sqrt{3}$

Степени $\gamma ,{\gamma }^2,{\gamma }^3$ выражаются как сумма $\sqrt{2},\sqrt{3}$ и $\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}$ с целыми коэффициентами. Записав соответствующую систему линейных уравнений, можно выразить из неё $\sqrt{2}$ и $\sqrt{3}$ (например, $\sqrt{2}=\frac{{\gamma }^3-9\gamma }{2}$), откуда следует, что $\gamma$ является примитивным элементом.

Примечания

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра — М:, Наука, 1975
• Доказательство теоремы на mathreference.com
• Доказательство теоремы на сайте Кена Брауна