Теорема о произведении отрезков хорд

$|AS|\cdot |SC|=|BS|\cdot |SD|$

$\begin{array}{cc}& |AS|\cdot |SC|=|BS|\cdot |SD|\\ =& (r+d)\cdot (r-d)=r^2-d^2\end{array}$

Шаблон:Center

Теорема о произведении отрезков хорд описывает соотношения отрезков, образованных двумя пересекающимися хордами окружности. В теореме утверждается, что произведения длин отрезков каждой из хорд равны.

Формулировка теоремы

Для двух хорд AC и BD, пересекающихся в точке S, выполняется следующее равенство:

$|AS|\cdot |SC|=|BS|\cdot |SD|$

Обратное также верно, т. е. если для двух отрезков AC и BD, пересекающихся в точке S, вышеприведённое равенство выполняется, то их концы A, B, C и D лежат на одной окружности. Другими словами, если диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке S и выполняется вышеупомянутое равенство, то этот четырёхугольник является вписанным.

Степень точки

Значения двух произведений в теореме о хордах зависит от расстояния точки пересечения S от центра окружности и называется абсолютным значением степени точки S. Более точно это можно выразить следующим образом:

$|AS|\cdot |SC|=|BS|\cdot |SD|=r^2-d^2$

где r является радиусом окружности, а d является расстоянием между центром окружности и точкой пересечения S. Это свойство следует непосредственно из применения теоремы о хордах к третьей хорде, проведённой через точку S и центр окружности M (см. рисунок).

Наряду с теоремой о секущей и касательной и теоремой о двух секущих, теорема о пересекающихся хордах является одним из трёх основных случаев более общей теоремы о двух пересекающихся прямых и окружности — теоремы о степени точки.

Доказательство теоремы

Теорему можно доказать с помощью подобных треугольников (через теорему о вписанном угле). Рассмотрим углы треугольников ASD и BSC:

$\mathrm{\angle }ADS=\mathrm{\angle }BCS$ (углы, опирающиеся на хорду AB)

$\mathrm{\angle }DAS=\mathrm{\angle }CBS$ (углы, опирающиеся на хорду CD)

$\mathrm{\angle }ASD=\mathrm{\angle }BSC$ (вертикальные углы)

Это означает, что треугольники ASD и BSC подобны, а потому:

$\frac{AS}{SD}=\frac{BS}{SC}\iff |AS|\cdot |SC|=|BS|\cdot |SD|$

Вы можете посмотреть интерактивную иллюстрацию к теореме и её доказательству.

Литература

• Glaister P. Intersecting Chords Theorem: 30 Years on // Mathematics in School. — 2007. — vol. 36. — № 1. — P. 22.
• Shawyer B. Explorations in Geometry. — World scientific, 2010. — P. 14. — ISBN 9789813100947.
• Schupp H. Elementargeometrie. — Schöningh, Paderborn, 1977. — P. 149. — ISBN 3-506-99189-2.
• Schülerduden — Mathematik I. — Bibliographisches Institut & F.A. Brockhaus, 2008. — S. 415—417. — ISBN 978-3-411-04208-1.