Теорема о точках плотности

Теорема о точках плотности — результат теории меры, которой интуитивно можно понимать так, что множество «граничных точек» измеримого множества имеет меру ноль.

Формулировка

Обозначим через $\lambda$ меру Лебега на евклидовом пространстве ${ℝ}^n$. Пусть $A\subset {ℝ}^n$ — измеримое множество. Для произвольной точки $x\in {ℝ}^n$ и $\epsilon >0$ рассмотрим значение

$d_{\epsilon }(x)=\frac{\lambda (A\cap B_{\epsilon }(x))}{\lambda (B_{\epsilon }(x))}$,

где $B_{\epsilon }(x)$ обозначает шар с центром в $x$ и радиусом $\epsilon$. Величина $d_{\epsilon }(x)$ может интерпретироваться как приблизительная плотность множества $A$ в точке $x$.

Тогда, для почти каждой точки $x\in A$,

$d(x)=\underset{\epsilon \to 0}{\lim }{d}_{\epsilon }(x)$

существует и равен 0 или 1.

Замечания

• Величина $d(x)$, если определена, называется плотностью множества $A$ в точке $x$.
• Другими словами, теорема утверждает, что плотность любого измеримого множества $A\subset {ℝ}^n$ принимает значение 0 или 1 почти всюду в ${ℝ}^n$.
• Если множество и его дополнение имеют положительную меру, то всегда найдутся точки с плотностью не 0 и не 1.

Примеры

Например, дан квадрат в плоскости, плотность в каждой точке внутри квадрата равна 1, на сторонах 1/2, в вершинах по 1/4, и 0 вне квадрата; границы и вершины имеют меру ноль.

Вариации и обобщения

• Теорема о точках плотности является частным случаем Шаблон:Iw.

Литература

• Шаблон:Книга